(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第一層級 基礎(chǔ)送分 專題二 平面向量講義 理(普通生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第一層級 基礎(chǔ)送分 專題二 平面向量講義 理(普通生,含解析) 平面向量的基本運算 1.(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則=(  ) A.-      B.- C.+ D.+ 解析:選A 法一:作出示意圖如圖所示. =+= + =×(+)+(-) =-.故選A. 法二:不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形,且∠A=,AB=AC=1.建立如圖所示的平面直角坐標系, 則A(0,0),B(1,0),C(0,1), D,E.故=(1,0),=(0,1), =(1,0)-=, 即=-

2、. 2.已知平面內(nèi)不共線的四點O,A,B,C滿足=+,則||∶||=(  ) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶2 D.2∶1 解析:選D 由=+,得-=2(-),即=2,所以||∶||=2∶1,故選D. 3.(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則 λ=________. 解析:2a+b=(4,2),因為c∥(2a+b), 所以4λ=2,解得λ=. 答案: 4.(2018·太原模擬)在正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點,若=λ+μ,則實數(shù)λ+μ=________. 解析:如圖,∵

3、=+=+=+,① =+=+, ② 由①②得=-,=-, ∴=+=+=-+-=+, ∵=λ+μ,∴λ=,μ=,λ+μ=. 答案: [題后悟通] 快審題 1.看到向量的線性運算,想到三角形和平行四邊形法則. 2.看到向量平行,想到向量平行的條件. 準 解 題 記牢向量共線問題的4個結(jié)論 (1)若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0. (2)直線的向量式參數(shù)方程:A,P,B三點共線?=(1-t) +t (O為平面內(nèi)任一點,t∈R). (3) =λ+μ (λ,μ為實數(shù)),若A,B,C三點共線,則λ+μ=1. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?

4、x1y2=x2y1,當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時,a∥b?=. 平面向量的數(shù)量積 [題組練透] 1.(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=(  ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析:選B a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b. ∵|a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3. 2.已知向量m=(t+1,1),n=(t+2,2),若(m+n)⊥(m-n),則t=(  ) A.0 B.-3 C.3 D.-1 解析:選B 法一:由(m+n)⊥(m-n)可得(m+n)·(m-n)=0,

5、 即m2=n2,故(t+1)2+1=(t+2)2+4,解得t=-3. 法二:m+n=(2t+3,3),m-n=(-1,-1), ∵(m+n)⊥(m-n),∴-(2t+3)-3=0,解得t=-3. 3.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,點D在邊AC上,且2=,則·的值是(  ) A.48 B.24 C.12 D.6 解析:選B 法一:由題意得,·=0,·=·(-)=||2=36,∴·=·(+)=·=0+×36=24. 法二:(特例法)若△ABC為等腰直角三角形,建立如圖所示的平面直角坐標系, 則A(6,0),C(0,6). 由2=,得D(4,2). ∴·=(

6、6,0)·(4,2)=24. 4.(2018·貴陽摸底考試)如圖,在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中,平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住,找出D點的位置,則·的值為(  ) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:選B 以點A為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,A(0,0),B(4,1),C(6,4),根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形,可以得到D(2,3),所以·=(4,1)·(2,3)=8+3=11.故選B. 5.(2019屆高三·益陽、湘潭調(diào)研)已知非零向量a,b滿足a·b=0,|a+b|=t|a|,若a+b與a-b的夾角為,則t的值為________. 解析:

7、因為a·b=0,所以(a+b)2=(a-b)2,即|a+b|=|a-b|.又|a+b|=t|a|,所以|a-b|=|a+b|=t|a|.因為a+b與a-b的夾角為,所以=cos,整理得=,即(2-t2)|a|2=2|b|2.又|a+b|=t|a|,平方得|a|2+|b|2=t2|a|2,所以|a|2+=t2|a|2,解得t2=.因為t>0,所以t=. 答案: 6.在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.邊DC上的動點P(包含點D,C)與CB延長線上的動點Q(包含點B)滿足||=||,則·的最小值為________. 解析:以點A為坐標原點,分別以AB,AD所在直線為x軸,y軸建立如圖所示的

8、平面直角坐標系, 設(shè)P(x,1),Q(2,y), 由題意知0≤x≤2,-2≤y≤0. ∵||=||, ∴|x|=|y|,∴x=-y. ∵=(-x,-1),=(2-x,y-1), ∴·=-x(2-x)-(y-1)=x2-2x-y+1=x2-x+1=2+, ∴當(dāng)x=時,·取得最小值,為. 答案: [題后悟通] 快審題 1.看到向量垂直,想到其數(shù)量積為零. 2.看到向量的模與夾角,想到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)和公式. 3.看到向量中的最值問題時,想到向量不等式、幾何意義,甚至建立坐標系構(gòu)造函數(shù)關(guān)系求最值. 用妙法 特例法妙解圖形中平面向量數(shù)量積問題 解答有關(guān)圖形中的平面向

9、量數(shù)量積問題,常采用特例法,如取直角三角形、矩形,再建立平面直角坐標系,求得相關(guān)點坐標計算求解(如第3題可取△ABC為等腰直角三角形建系). 避誤區(qū) 兩個向量夾角的范圍是[0,π],在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或π的情況,如已知兩個向量的夾角為鈍角時,不僅要求其數(shù)量積小于零,還要求不能反向共線. 一、選擇題 1.設(shè)a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實數(shù)k的值等于(  ) A.-          B.- C

10、. D. 解析:選A 因為c=a+kb=(1+k,2+k), 又b⊥c,所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-. 2.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),則向量a,b的夾角的余弦值為(  ) A. B.- C. D.- 解析:選C 因為向量a=(1,1),2a+b=(4,2),所以b=(2,0), 則向量a,b的夾角的余弦值為=. 3.已知在平面直角坐標系中,點A(0,1),向量=(-4,-3),=(-7,-4),則點C的坐標為(  ) A.(11,8) B.(3,2) C.(-11,-6) D.(-3,0) 解析:選C 設(shè)C(x

11、,y),∵在平面直角坐標系中,點A(0,1),向量=(-4,-3),=(-7,-4),∴=+=(-11,-7),∴解得x=-11,y=-6,故C(-11,-6). 4.在等腰梯形ABCD中,=-2,M為BC的中點,則=(  ) A.+ B.+ C.+ D.+ 解析:選B 因為=-2,所以=2.又M是BC的中點,所以=(+)=(++)==+. 5.(2019屆高三·武漢調(diào)研)設(shè)非零向量a,b滿足|2a+b|=|2a-b|,則(  ) A.a(chǎn)⊥b B.|2a|=|b| C.a(chǎn)∥b D.|a|<|b| 解析:選A 法一:∵|2a+b|=|2a-b|,∴(2a+b)

12、2=(2a-b)2,化簡得a·b=0, ∴a⊥b,故選A. 法二:記c=2a,則由|2a+b|=|2a-b|得|c+b|=|c-b|,由平行四邊形法則知,以向量c,b為鄰邊的平行四邊形的對角線相等,∴該四邊形為矩形,故c⊥b,即a⊥b,故選A. 6.已知=(2,1),點C(-1,0),D(4,5),則向量在方向上的投影為(  ) A.- B.-3 C. D.3 解析:選C 因為點C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影為||cos〈,〉===. 7.已知a和b是非零向量,m=a+tb(t∈R),若|a|=1,|b|=

13、2,當(dāng)且僅當(dāng)t=時,|m|取得最小值,則向量a,b的夾角θ為(  ) A. B. C. D. 解析:選C 由m=a+tb,及|a|=1,|b|=2,得|m|2=(a+tb)2=4t2+4tcos θ+1=(2t+cos θ)2+sin2θ,由題意得,當(dāng)t=時,cos θ=-,則向量a,b的夾角θ為,故選C. 8.在△ABC中,|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F(xiàn)為BC的三等分點,則·=(  ) A. B. C. D. 解析:選B 由|+|=|-|知⊥,以A為坐標原點,,的方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),C(0,1

14、),不妨設(shè)E,F(xiàn),則·=·=+=. 9.已知在平面直角坐標系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三點共線且向量與向量a=(1,-1)共線,若=λ+(1-λ) ,則λ=(  ) A.-3 B.3 C.1 D.-1 解析:選D 設(shè)=(x,y),則由∥a,知x+y=0,于是=(x,-x). 若=λ+(1-λ),則有(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ), 即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1. 10.(2018·蘭州診斷考試)在△ABC中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足=2,則·(+)等于(  )

15、 A.- B.- C. D. 解析:選A 如圖,∵=2,∴=+, ∴·(+)=-2, ∵AM=1且=2,∴||=, ∴·(+)=-. 11.(2019屆高三·南寧摸底聯(lián)考)已知O是△ABC內(nèi)一點,++=0,·=2且∠BAC=60°,則△OBC的面積為(  ) A. B. C. D. 解析:選A ∵++=0,∴O是△ABC的重心,于是S△OBC=S△ABC. ∵·=2,∴||·||·cos∠BAC=2,∵∠BAC=60°, ∴||·||=4.∴S△ABC=||·||sin∠BAC=,∴△OBC的面積為. 12.(2018·南昌調(diào)研)已知A,B,C是圓O:x

16、2+y2=1上的動點,且AC⊥BC,若點M的坐標是(1,1),則|++|的最大值為(  ) A.3 B.4 C.3-1 D.3+1 解析:選D 法一:∵A,B,C是圓O:x2+y2=1上的動點,且AC⊥BC, ∴設(shè)A(cos θ,sin θ),B(-cos θ,-sin θ),C(cos α,sin α),其中0≤θ<2π,0≤α<2π, ∵M(1,1),∴++=(cos θ-1,sin θ-1)+(-cos θ-1,-sin θ-1)+(cos α-1,sin α-1)=(cos α-3,sin α-3), ∴|++|= = = , 當(dāng)且僅當(dāng)sin=-1時,|++|

17、取得最大值,最大值為=3+1. 法二:連接AB,∵AC⊥BC,∴AB為圓O的直徑, ∴+=2, ∴|++|=|2+|≤|2|+||=2+||, 易知點M與圓上動點C的距離的最大值為+1, ∴||≤+1,∴|++|≤3+1,故選D. 二、填空題 13.(2018·濰坊統(tǒng)一考試)已知單位向量e1,e2,且〈e1,e2〉=,若向量a=e1-2e2,則|a|=________. 解析:因為|e1|=|e2|=1,〈e1,e2〉=,所以|a|2=|e1-2e2|2=1-4|e1|·|e2|cos+4=1-4×1×1×+4=3,即|a|=. 答案: 14.已知a,b是非零向量,f(x)

18、=(ax+b)·(bx-a)的圖象是一條直線,|a+b|=2,|a|=1,則f(x)=________. 解析:由f(x)=a·bx2-(a2-b2)x-a·b的圖象是一條直線,可得a·b=0.因為|a+b|=2,所以a2+b2=4. 因為|a|=1,所以a2=1,b2=3,所以f(x)=2x. 答案:2x 15.在△ABC中,N是AC邊上一點且=,P是BN上一點,若=m+,則實數(shù)m的值是________. 解析:如圖,因為=,所以=,所以=m+=m+.因為B,P,N三點共線,所以m+=1,則m=. 答案: 16.(2019屆高三·唐山五校聯(lián)考)在△ABC中,(-3)⊥,則角A的最大值為________. 解析:因為(-3)⊥,所以(-3)·=0,即(-3)·(-)=0,則2-4·+32=0,即cos A==+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)||=||時等號成立.因為0

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