高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-3

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1、高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-3 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．) 1．(xx·四川理，6)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　) A．192種 B．216種 C．240種 D．288種 [答案]　B [解析]　分兩類：最左端排甲有A＝20種不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有CA＝96種不同的排法，由加法原理可得滿足條件的排法共有216種． 2．有甲、乙兩種鋼材，從中各取等量樣品檢驗(yàn)它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)如下： X 110

2、120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 X 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 現(xiàn)要比較兩種鋼材哪一種抗拉強(qiáng)度較好，應(yīng)考察哪項(xiàng)指標(biāo)(　　) A．期望與方差 B．正態(tài)分布 C．卡方χ2 D．概率 [答案]　A [解析]　檢驗(yàn)鋼材的抗拉強(qiáng)度，若平均抗拉強(qiáng)度相同，再比較沒動(dòng)情況．故選A. 3．(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．－20　　　 B．－15　　　 C．15　　　 D．20 [答案]　C [解析]　本小題考查二項(xiàng)展開式

3、的指定項(xiàng)的求法．Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝C(－1)r2(12－3r)x，令12－3r＝0，∴r＝4，∴T5＝C＝15. 4．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(n，p)，則等于(　　) A．p2 B．(1－p)2 C．1－p D．以上都不對 [答案]　B [解析]　因?yàn)閄～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以＝＝(1－p)2.故選B. 5．(xx·新課標(biāo)Ⅱ理，5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(

4、　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 [答案]　A [解析]　本題考查條件概率的求法． 設(shè)A＝“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B＝“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則 P(B|A)＝＝＝0.8，故選A. 6．某小組有8名學(xué)生，從中選出2名男生，1名女生，分別參加數(shù)、理、化單科競賽，每人參加一科，共有90種不同的參賽方案，則男女生的人數(shù)應(yīng)是(　　) A．男生6名，女生2名 B．男生5名，女生3名 C．男生3名，女生5名 D．男生2名，女生5名 [答案]　C [解析]　設(shè)男生有n人，則女生有(8－n)人，所以CCA＝90，得n(n－1)(8－n)＝30.所以

5、n＝3.故選C. 7．某校高三年級舉行一次演講比賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽簽方式確定他們的演講順序，則一班3位同學(xué)恰好被排在一起，而二班2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　基本事件總數(shù)為A，而事件A包括的基本事件可按“捆綁法”與“插空法”求解． 10個(gè)人的演講順序有A種可能，即基本事件總數(shù)為A，一班同學(xué)被排在一起，二班的同學(xué)沒有被排在一起這樣來考慮：先將一班的3位同學(xué)當(dāng)作一個(gè)元素與其他班的5位同學(xué)一起排列有A種，二班的2位同學(xué)插入到上述6個(gè)元素所留7個(gè)空當(dāng)中，有A種方法．依分步計(jì)數(shù)原理

6、得不同的排法有A·A·A種．∴所求概率為＝.故選B. 8．為了評價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)隨機(jī)抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計(jì)算χ2的觀測值χ2＝99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是(　　) A．有99%的人認(rèn)為該欄目優(yōu)秀 B．有99%的人認(rèn)為欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān) C．有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D．以上說法都不對 [答案]　C [解析]　當(dāng)χ2＞6.635時(shí)有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系．故選C. 9．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相

7、同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [答案]　D [解析]　考查互斥事件的概率加法公式．甲獲得冠軍包括兩種情況：在接下來的比賽中，第一局甲贏和第一局甲沒贏，第二局甲贏． ∴P＝＋×(1－)＝，選D. 10．假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行．要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Cp3(1－p)

8、＋p4,2引擎飛機(jī)成功飛行的概率為p2，要使C(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1.故選B. 11．如圖，已知面積為1的正三角形ABC三邊的中點(diǎn)分別為D、E、F，從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)不同的點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形的面積為X(三點(diǎn)共線時(shí)，規(guī)定X＝0)，則E(x)＝(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　由題意知X可取0，，，1，P(X＝0)＝＝， P(X＝)＝＝， P(X＝)＝＝，P(X＝1)＝. 則E(X)＝×＋×＋＝. 12．已知(1－2x)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則(1－2x)n(1＋x)的展開式中，x4的系數(shù)為(　

9、　) A．－672　　　B．672　　　C．－280　　　D．280 [答案]　D [解析]　由2n－1＝64，所以n－1＝6，n＝7.則(1－2x)7(1＋x)的展開式中含x4的項(xiàng)為：C(－2x)4＋C(－2x)3x＝(24C－23C)x4＝280x4，所以x4的系數(shù)為280.故選D. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上) 13．某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________． [答案]　 [解析]　設(shè)“每次罰球命中”為事件A，由題意P()·P()＋2P(A)·P(

10、)＝即[1－P(A)]2＋2P(A)·[1－P(A)]＝，即得P(A)＝. 14．如下圖，A、B、C、D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方案共有______種． [答案]　16 [解析]　一類：從一個(gè)島出發(fā)向其它三島各建一橋．共有C＝4種； 二類：一個(gè)島最多建兩座橋如A—B—C—D與D—C—B—A這樣兩個(gè)排列對應(yīng)一種建橋方法，因此共有＝12種，據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有16種． 15．設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0,1)的直線，l的斜率等可能地?。?、－、－、0、、、2，用ξ表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝____________. [

11、答案]　 [解析]　求數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵是求出其分布列．根據(jù)題意，先確定ξ的所有可能的取值，再計(jì)算概率，從而列出分布列． 當(dāng)l的斜率k為±2時(shí)，直線方程為±2x－y＋1＝0，此時(shí)d1＝；k＝±時(shí)，d2＝；k＝±時(shí)，d3＝；k＝0時(shí)，d4＝1.由等可能事件的概率可得分布列如下： ξ 1 P ∴E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝. 16．若9的展開式中x3的系數(shù)是－84，則a＝________. [答案]　1 [解析]　由Tr＋1＝Cx9－rr＝(－a)rCx9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系數(shù)為(－a)3C＝－84，解得a＝1. 三、解答題(本大題共

12、6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)若在二項(xiàng)式n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)． [解析]　n的展開式中前三項(xiàng)是：T1＝C·()n，T2＝C()n－1·，T3＝C()n－22，其系數(shù)分別是：C，C，C，且2×C＝C＋C，解之得n＝1或n＝8，n＝1不符合題意應(yīng)舍去，故n＝8.當(dāng)n＝8時(shí)，Tr＋1＝C·()8－r·r＝C··x，Tr＋1為有理項(xiàng)的充要條件是∈Z，所以r應(yīng)是4的倍數(shù)，故r可為0,4,8，故所有有理項(xiàng)為T1＝x4，T5＝x，T9＝. [說明]　求展開式中特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr＋

13、1＝Can－rbr. 18．(本題滿分12分)在一次合唱中有6個(gè)女生(其中有1個(gè)領(lǐng)唱)和2個(gè)男生分成兩排表演． (1)每排4人，問共有多少種不同的排法？ (2)領(lǐng)唱站在前排，男生站在后排，還是每排4人，問有多少種不同的排法？ [解析]　(1)要完成這件事，必須分三步：第一步，先從8人中選4人站在前面，另4人站在后面，共有C·C＝C種不同的排法；第二步，前面4人進(jìn)行排列，有A種排法；第三步，后面4人也進(jìn)行排列，有A種排法．三步依次完成，才算這件事完成，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理有N＝CAA＝403 20種不同的排法． (2)同理有N＝CAA＝5 760種不同的排法． 19．(本題滿分12分

14、)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，用戶先對產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)品不放回箱子)；若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品． (1)求這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率； (2)記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為ξ，求ξ的分布列． [解析]　(1)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件A， 則P(A)＝＝. 即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為. (2)ξ的可能取值為1,2,3. P(ξ＝1)＝＝. P(ξ＝2)＝×＝. P(ξ＝3)＝×＝. ∴ξ的分布列為： ξ 1 2

15、3 P 20.(本小題共12分)(xx·山東理，18)乒乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球．規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A、B上各一次，小明的兩次回球互不影響．求： (1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率； (2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)

16、期望． [解析]　(1)記Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)， 則P(A3)＝，P(A1)＝， P(A0)＝1－－＝； 記Bi為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)， 則P(B3)＝，P(B1)＝， P(B0)＝1－－＝. 記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”． 由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3， 由事件的獨(dú)立性和互斥性， P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3) ＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3) ＝P(A3)P(B0)＋

17、P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3) ＝×＋×＋×＋×＝， 所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為. (2)由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6， 由事件的獨(dú)立性和互斥性，得 P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝， P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1) ＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝×＝， P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3) ＝×＋×＝， P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3) ＝×＋×＝， P(ξ

18、＝6)＝P(A3B3)＝×＝. 可得隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 4 6 P 所以，數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 21．(本題滿分12分)某城市一個(gè)交通路口原來只設(shè)有紅綠燈，平均每年發(fā)生交通事故80起，案件的破獲率為70%，為了加強(qiáng)該路口的管理，第二年在該路口設(shè)置了電子攝像頭，該年發(fā)生交通事故70起，共破獲56起，第三年白天安排了交警執(zhí)勤，該年發(fā)生交通事故60起，共破獲了54起． (1)根據(jù)以上材料分析，加強(qiáng)管理后的兩年該路口的交通狀況發(fā)生了怎樣的變化？ (2)試采用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行分析，設(shè)置電子攝像頭對

19、該路口交通肇事案件的破獲產(chǎn)生了什么樣的影響？設(shè)置電子攝像頭和交警白天執(zhí)勤的共同作用對該路口交通肇事案件的破獲產(chǎn)生了什么樣的影響？ [解析]　(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，沒有采取措施之前，案件的發(fā)生較多，并且破獲率只有70%，安裝電子攝像頭之后，案件的發(fā)生次數(shù)有所減少，并且破獲率提高到了80%，白天安排交警執(zhí)勤后，案件的發(fā)生次數(shù)進(jìn)一步減少，并且破獲率提高到了90%.由此可知，電子攝像頭對遏制交通案件的發(fā)生起到了一定作用，并且給破案帶了一定的幫助，而安排交警執(zhí)勤對這些的影響更大． (2)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)可以繪制對應(yīng)的2×2列聯(lián)表如下： 破獲的案件 未破獲的案件 合計(jì) 未采取措施 56

20、 24 80 安裝攝像頭 56 14 70 合計(jì) 112 38 150 破獲的案件 未破獲的案件 合計(jì) 未采取措施 56 24 80 安裝攝像頭及交警執(zhí)勤 54 6 60 合計(jì) 110 30 140 從如圖所示的條形圖容易看出，安裝電子攝像頭后，破案率有了提高，實(shí)行交警執(zhí)勤后案件的破獲率有了明顯提高，這說明兩種措施對案件的破獲都起到了一定的積極作用． 先分析電子攝像頭對破案的影響可信度， 令a＝56，b＝24，c＝56，d＝14， 構(gòu)造隨機(jī)變量χ2＝＝ ≈1.974. 其中n＝a＋b＋c＋d.而查表可知， P(χ2≥1.

21、323)＝0.25.且1－0.25＝0.75＝75%，因此約有75%的把握認(rèn)為，安裝電子攝像頭對案件的破獲起到了作用． 再分析安裝電子攝像頭及交警執(zhí)勤的情況， 同樣令a＝56，b＝24，c＝54，d＝6，則 χ2＝ ＝≈8.145， 其中n＝a＋b＋c＋d. 而查表可知，P(χ2≥6.635)＝0.01，且1－0.01＝0.99＝99%，因此約有99%的把握認(rèn)為安裝電子攝像頭及交警執(zhí)勤對案件的破獲起到了作用． 22．(本題滿分14分)袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的

22、3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望； (3)取球一次計(jì)分介于20分到40分之間的概率． [解析]　(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)＝＝. (2)由題意，ξ的可能取值為：2,3,4,5，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， 所以ξ的分布列如下表： ξ 2 3 4 5 P 因此ξ的數(shù)學(xué)期望為 E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. (3)“取球一次計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)＝P(ξ＝3或ξ＝4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.