2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷2含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷2） 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1． A． B． C． D． 2．已知集合，，則 A． B． C． D． 3．函數(shù)的圖像大致為 4．已知向量，滿足，，則 A．4 B．3 C．2 D．0 5．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加

2、社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為 A． B． C． D． 6．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A． B． C． D． 7．在中，，，，則 A． B． C． D． 8．為計算，設(shè)計了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入 A． B． C． D． 9．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為 A． B． C． D． 10．若在是減函數(shù)，則的最大值是 A． B． C． D． 11．已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為 A． B． C． D．

3、 12．已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 A． B．0 C．2 D．50 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．曲線在點處的切線方程為__________． 14．若滿足約束條件 則的最大值為__________． 15．已知，則__________． 16．已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題?？忌鶕?jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12

4、分） 記為等差數(shù)列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2020年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； （2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． 19．（12分） 如圖，在三

5、棱錐中，，，為的中點． （1）證明：平面； （2）若點在棱上，且，求點到平面的距離． 20．（12分） 設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 21．（12分） 已知函數(shù)． （1）若，求的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：只有一個零點． （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）求和的直角坐標(biāo)方程；

6、（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標(biāo)為，求的斜率． 23．[選修4－5：不等式選講]（10分） 設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時，求不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 參考答案 一、選擇題 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C 二、填空題 13．y=2x–2 14．9 15． 16．8π 三、解答題 17．解： （1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （

7、2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 18．解： （1）利用模型①，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =–30.4+13.5×19=226.1（億元）． 利用模型②，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =99+17.5×9=256.5（億元）． （2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資

8、額的變化趨勢．2020年相對2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． （ii）從計算結(jié)果看，相對于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合

9、理理由均可得分． 19．解： （1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP=． 連結(jié)OB．因為AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的長為點C到平面POM的距離． 由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°． 所以O(shè)M=，CH==． 所以點C到平面POM的距離為． 20．解： （1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）． 設(shè)A

10、（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為 ，即． 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則 解得或 因此所求圓的方程為 或． 21．解： （1）當(dāng)a=3時，f（x）=，f ′（x）=． 令f ′（x）=0解得x=或x=． 當(dāng)x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f ′（x）>0； 當(dāng)x∈（，）時，f ′（x）<0． 故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減． （2）由于，所以等價于． 設(shè)=

11、，則g ′（x）=≥0，僅當(dāng)x=0時g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點． 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點． 綜上，f（x）只有一個零點． 22．解： （1）曲線的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 23．解： （1）當(dāng)時， 可得的解集為． （2）等價于． 而，且當(dāng)時等號成立．故等價于． 由可得或，所以的取值范圍是．