2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷1含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷1） 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．設(shè)，則 A． B． C． D． 2．已知集合，則 A．

2、 B． C． D． 3．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例 建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例 則下面結(jié)論中不正確的是 A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 4．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則 A．

3、 B． C． D． 5．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為 A． B． C． D． 6．在中，為邊上的中線，為的中點，則 A． B． C． D． 7．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為 A． B． C．3 D．2 8．設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則= A．5

4、 B．6 C．7 D．8 9．已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 10．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2

5、=p3 D．p1=p2+p3 11．已知雙曲線C：，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|= A． B．3 C． D．4 12．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________． 14．記為數(shù)列的前項和，若，則_____________． 15．從2位女生，4位男生中選

6、3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案） 16．已知函數(shù)，則的最小值是_____________． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：60分。 17．（12分） 在平面四邊形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 18．（12分） 如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且. （1）證明：平面平面； （2）求與平面所成角的正弦值.

7、 19．（12分） 設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為. （1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程； （2）設(shè)為坐標原點，證明：. 20．（12分） 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立． （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點． （2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費

8、用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用． （i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求; （ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 21．（12分） 已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）若存在兩個極值點，證明：． （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修4–4：坐標系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為. （

9、1）求的直角坐標方程； （2）若與有且僅有三個公共點，求的方程. 23．[選修4–5：不等式選講]（10分） 已知. （1）當(dāng)時，求不等式的解集； （2）若時不等式成立，求的取值范圍. 參考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14. 15.16 16. 17.（12分） 解：（1）在中，由正弦定理得. 由題設(shè)知，，所以. 由題設(shè)知，

10、，所以. （2）由題設(shè)及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 18.（12分） 解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系H?xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得. 則為平面ABFD的法向量. 設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則. 所以DP與平面ABFD所成角的正

11、弦值為. 19.（12分） 解：（1）由已知得，l的方程為x=1. 由已知可得，點A的坐標為或. 所以AM的方程為或. （2）當(dāng)l與x軸重合時，. 當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以. 當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為，， 則，直線MA，MB的斜率之和為. 由得 . 將代入得 . 所以，. 則. 從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以. 綜上，. 20.（12分） 解：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此 . 令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，. 所以的最大值點為. （2）由（1）知，. （i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品

12、件數(shù)，依題意知，，即. 所以. （ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元. 由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗. 21.（12分） 解:（1）的定義域為，. （i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減. （ii）若，令得，或. 當(dāng)時，； 當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. （2）由（1）知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng). 由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于 ， 所以等價于. 設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，. 所以，即. 22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分） 【解析】（1）由，得的直角坐標方程為． （2

13、）由（1）知是圓心為，半徑為的圓． 由題設(shè)知，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點． 當(dāng)與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點；當(dāng)時，與只有一個公共點，與有兩個公共點． 當(dāng)與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點；當(dāng)時，與沒有公共點． 綜上，所求的方程為． 23．[選修4-5：不等式選講]（10分） 【解析】（1）當(dāng)時，，即 故不等式的解集為． （2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立． 若，則當(dāng)時； 若，的解集為，所以，故． 綜上，的取值范圍為．