2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷3含答案）(1)

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1、 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷3） 注意事項： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號碼填寫在答題卡上. 2．回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,在涂選其它答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求的。） 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C．

2、 D． 3．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（ ） 4．若，則（ ） A． B． C． D． 5．的展開式中的系數(shù)為（ ） A．10 B．20 C．40 D．80 6．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 7．函數(shù)的圖像大致為（ ） 8．某群體中的每位成品使用

3、移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 9．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則（ ） A． B． C． D． 10．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（ ） A． B． C． D． 11．設(shè)是雙曲線（）的左，右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（ ） A． B．2 C． D． 12

4、．設(shè)，，則（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13．已知向量，，．若，則________． 14．曲線在點處的切線的斜率為，則________． 15．函數(shù)在的零點個數(shù)為________． 16．已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________． 三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．） （一）必考題：共60分。 17．（12

5、分） 等比數(shù)列中，． ⑴求的通項公式； ⑵記為的前項和．若，求． 18．（12分） 某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： ⑴根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； ⑵求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式

6、 第二種生產(chǎn)方式 ⑶根據(jù)⑵中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：，． 19．（12分） 如圖，邊長為2的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點． ⑴證明：平面平面； ⑵當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值． 20．（12分） 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點．線段的中點為． ⑴證明：； ⑵設(shè)為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． 21．（12分） 已知函數(shù)． ⑴若，證明：當時，；當時，； ⑵若是的極大值點，求．

7、 （二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分． 22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分） 在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于兩點． ⑴求的取值范圍； ⑵求中點的軌跡的參數(shù)方程． 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 設(shè)函數(shù)． ⑴畫出的圖像； ⑵當， ，求的最小值． 參考答案 一、選擇題 1．答案：C 解答：∵，，∴.故選C. 2．答案：D 解答：，選D. 3．答案

8、：A 解答：根據(jù)題意，A選項符號題意. 4．答案：B 解答：.故選B. 5．答案：C 解答：，當時，，此時系數(shù).故選C. 6．答案：A 解答：由直線得，∴，圓的圓心為，∴圓心到直線的距離為，∴點到直線的距離的取值范圍為，即，∴. 7．答案：D 解答：當時，，可以排除A、B選項；又因為，則的解集為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；的解集為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.結(jié)合圖象，可知D選項正確. 8．答案：B 解答：由，∴，∴，解之得，由，有. 9．答案：C 解答：，又，故，∴.故選C. 10．答案：B 解答：如圖，為等邊三角形，點為，，，外接球的球心，為的重心，由，得，取的中點，∴，∴，

9、∴球心到面的距離為，∴三棱錐體積最大值. 11．答案：C 解答：∵，，∴ ； 又因為，所以； 在中，； ∵在中，， ∴ . 12．答案：B 解答： ∵，， ∴，， ∴，∴即， 又∵，，∴，故選B. 二、填空題 13．答案： 解答：，∵，∴，解得. 14．答案： 解答：，則， 所以. 15．答案： 解答：由，有，解得，由得可取，∴在上有個零點. 16．答案： 解答：依題意得，拋物線的焦點為，故可設(shè)直線，聯(lián)立消去得，設(shè)，，則，，∴，.又，，∴ ，∴. 三、解答題 17．答案：（1）或；（2）. 解答：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∴，∴. ∴或.

10、 （2）由（1）知，或， ∴或（舍）， ∴. 18． 解答：（1）第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為，第二種生產(chǎn)方式平均數(shù)為，∴ ，所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間大于第二種，∴第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （2）由莖葉圖數(shù)據(jù)得到，∴列聯(lián)表為 （3），∴有 的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異. 19． 解答：（1）∵正方形半圓面， ∴半圓面，∴平面. ∵在平面內(nèi)，∴，又∵是半圓弧上異于的點，∴.又∵，∴平面，∵在平面內(nèi)，∴平面平面. （2）如圖建立坐標系： ∵面積恒定， ∴，最大. ，，，，, 設(shè)面的法向量為，設(shè)面的法向量為， ，， ，， ， 同理，

11、， ∴，∴ . 20． 解答：（1）設(shè)直線方程為，設(shè),, 聯(lián)立消得， 則， 得…①， 且，， ∵，∴ 且. 且…②. 由①②得， ∴或. ∵，∴ . （2），, ∵，，∴的坐標為. 由于在橢圓上，∴ ，∴，， 又，， 兩式相減可得， 又，，∴， 直線方程為， 即， ∴， 消去得，， ， , ∴. ∴，，成等差數(shù)列， .∴. 21． 解答：（1）若時，， ∴. 令， ∴. ∴當時，，在上單調(diào)遞增， 當時，，在上單調(diào)遞減. ∴， ∴恒成立， ∴在上單調(diào)遞增， 又， ∴當時，；當時，. （2）， ， ， ， . 設(shè)， ∴，，， ∴在鄰域內(nèi)，時，，時，. 時，，由洛必達法則得， 時，，由洛必達法則得， 綜上所述，. 22． 解答： （1）的參數(shù)方程為，∴的普通方程為，當時，直線：與有兩個交點，當時，設(shè)直線的方程為，由直線與有兩個交點有，得，∴或，∴或，綜上. （2）點坐標為，當時，點坐標為，當時，設(shè)直線的方程為，，∴有，整理得，∴，，∴ 得代入④得.當點時滿足方程，∴中點的的軌跡方程是，即，由圖可知，，，則，故點的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）. 23． 解答： （1），如下圖： （2）由（1）中可得：，， 當，時，取最小值， ∴的最小值為.