2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（北京卷含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（北京卷） 本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 （1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，則AB= （A）{0，1} （B）{–1，0，1} （C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2} （2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （A）第一象限

2、 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 （A） （B） （C） （D） （4）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為 （A） （B） （C） （D） （5）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)

3、數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （6）設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“a⊥b”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （7）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線的距離，當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （8）設(shè)集合則 （A）對(duì)任意實(shí)數(shù)a， （B）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1） （C）當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2，1） （D）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2，1） 第二部

4、分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________． （10）在極坐標(biāo)系中，直線與圓相切，則a=__________． （11）設(shè)函數(shù)f（x）=，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為_(kāi)_________． （12）若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y–x的最小值是__________． （13）能說(shuō)明“若f（x）>f（0）對(duì)任意的x∈（0，2］都成立，則f（x）在［0，2］上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是__________． （14）已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的

5、兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_(kāi)_________；雙曲線N的離心率為_(kāi)_________． 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。 （15）（本小題13分） 在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC邊上的高． （16）（本小題14分） 如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值； （Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．

6、 （17）（本小題12分） 電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立． （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率； （Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率； （Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們

7、喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫(xiě)出方差，，，，，的大小關(guān)系． （18）（本小題13分） 設(shè)函數(shù)=[]． （Ⅰ）若曲線y= f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求a； （Ⅱ）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍． （19）（本小題14分） 已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值． （

8、20）（本小題14分） 設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對(duì)于集合A中的任意元素和，記 M（）=． （Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若，，求M（）和M（）的值； （Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值； （Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素， M（）=0．寫(xiě)出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由． 參考答案 一、選擇題 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D 二、填空題 9． 10． 11． 12

9、．3 13．y=sinx（不答案不唯一） 14． 三、解答題 （15）（共13分） 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=． 由正弦定理得=，∴sinA=． ∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=． （Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==． 如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==， ∴AC邊上的高為． （16）（共14分） 解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC， ∴四邊形A1ACC1為矩形． 又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)， ∴

10、AC⊥EF． ∵AB=BC． ∴AC⊥BE， ∴AC⊥平面BEF． （Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1． 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC． ∵BE平面ABC，∴EF⊥BE． 如圖建立空間直角坐稱系E-xyz． 由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1）． ∴， 設(shè)平面BCD的法向量為， ∴，∴， 令a=2，則b=-1，c=-4， ∴平面BCD的法向量， 又∵平面CDC1的法向量為， ∴． 由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為． （Ⅲ）平面B

11、CD的法向量為，∵G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2）， ∴，∴，∴與不垂直， ∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交． （17）（共12分） 解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000， 第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50． 故所求概率為． （Ⅱ）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”， 事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”． 故所求概率為P（）=P（）+P（） =P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）． 由題意知：P（A）估計(jì)為0.25

12、，P（B）估計(jì)為0.2． 故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ）>>=>>． （18）（共13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)?[]， 所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R） =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1)=(1–a)e． 由題設(shè)知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1． 此時(shí)f (1)=3e≠0． 所以a的值為1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 若a>，則當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f ′(x)<0；

13、 當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f ′(x)>0． 所以f (x)<0在x=2處取得極小值． 若a≤，則當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，x–2<0，ax–1≤x–1<0， 所以f ′(x)>0． 所以2不是f (x)的極小值點(diǎn)． 綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）． （19）（共14分） 解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x． 由題意可知直線l的斜率存在且不為0， 設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）． 由得． 依題意，解得k<0或0

14、所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直線PA的方程為y–2=． 令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為． 同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為． 由，得，． 所以． 所以為定值． （20）（共14分） 解：（Ⅰ）因?yàn)棣?（1，1，0），β=（0，1，1），所以 M(α，α)= [(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2， M(α，β）= [(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． （Ⅱ）設(shè)α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，

15、則M(α，α）= x1+x2+x3+x4． 由題意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)為奇數(shù)， 所以x1，x 2，x3，x4中1的個(gè)數(shù)為1或3． 所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 將上述集合中的元素分成如下四組： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1). 經(jīng)驗(yàn)證，對(duì)于每組中兩個(gè)元素α，β，均有M(α，β）=1

16、. 所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素． 所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過(guò)4. 又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}滿足條件， 所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4. （Ⅲ）設(shè)Sk=( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk?=1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)， Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}， 則A=S1∪S1∪…∪Sn+1． 對(duì)于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，經(jīng)驗(yàn)證，M(α，β)≥1. 所以Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素． 所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過(guò)n+1. 取ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）. 令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，則集合B的元素個(gè)數(shù)為n+1，且滿足條件. 故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合．