陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 典型例題函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象分析素材 北師大版必修4（通用）

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1、函數(shù)圖象例題分析 ［例1］由圖4—14所示函數(shù)圖象，求y＝Asin（ωx＋φ） 圖4—14 （｜φ｜＜π）的表達(dá)式. 選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法. 解：由圖象可知A＝2 又（－，0）為五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn) 因此2×（－）＋φ＝0，∴φ＝ 因此所求函數(shù)表達(dá)式為y＝2sin(2x＋) 說明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的過程中，A由函數(shù)的最值確定，ω由函數(shù)的周期確定，φ可通過圖象的平移或“五點(diǎn)法”作圖的過程確定. 圖4—15 ［例2］函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的圖象如圖4—15，求函數(shù)的表達(dá)式. 選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法. 解：由函

2、數(shù)圖象可知A＝1 函數(shù)的周期為T＝2［3－（－1）］＝8，即＝8 ∴ω＝ 又(－1，1)為“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn) 即（－1）＋φ＝，∴φ＝ ∴所求函數(shù)表達(dá)式為y＝sin（x＋） 說明：如果利用點(diǎn)(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象上，得到 ，則很難確定函數(shù)關(guān)系式中的A、ω、φ. ［例3］如圖4—16，已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(｜φ｜＜的圖象，那么 A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－ C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝－

3、選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法. 解：由(0，1)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，知2sinφ＝1，又｜φ｜＜ ∴φ＝ 又(，0)是“五點(diǎn)法”作圖的第五個(gè)點(diǎn) 因此ω·＝2π，解得ω＝2. 答案：C 說明：在本題求ω的過程中，若利用(，0)在圖象上，即sin（ω＋）＝0，則求出ω＝2或ω＝，很難判斷我們所要選擇的答案，因此圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合關(guān)系式一定要慎重使用. ［例4］畫出函數(shù)，的簡圖，并說明由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到此函數(shù)的圖像． 解：函數(shù)的周期T=，先畫出它在長度為的閉區(qū)間上的簡圖． 列表 X 0 2 0 2 0 －2 0

4、 描點(diǎn)畫圖：描點(diǎn)，連接，根據(jù)這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫出函數(shù)．的簡圖（圖4-37） 利用函數(shù)的周期性，可以把得到的在閉區(qū)間上的簡圖向左，右分別擴(kuò)展，從而得到函數(shù)：．R的簡圖． 函數(shù)R的圖像可以由正弦曲線經(jīng)過如下的變換得到： （1）先把的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位，得到的圖像；再把的圖像上的所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到的圖像． （2）先把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像；再把的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位，得到的圖像． 評析：比較函數(shù)的圖像和圖像，容易發(fā)現(xiàn)，對于的圖像上每一點(diǎn)，在的圖像上總存在唯一一

5、點(diǎn)和它對應(yīng)，因此，R的圖像．可以看作是先把正弦曲線上所有的點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）而得到；也可以看作是先把正弦曲線上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）再把所得各點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位長度而得到．變換的次序可以改變． 一般有，函數(shù)．R，的圖像，可以看作是用下面的兩種方法得到的： （1）先把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）時(shí)或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變） （2）先把正弦曲線上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），再把所

6、得各點(diǎn)向左（（當(dāng)）時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動個(gè)單位長度． ［例5］畫出函數(shù)R的簡圖，并說明由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到該函數(shù)的圖像． 解：函數(shù)的周期，先畫出它在長度為的閉區(qū)間上的簡圖． 列表： X 0 2 0 1 0 －1 0 描點(diǎn)畫圖：描點(diǎn)、連接，根據(jù)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫出函數(shù)的簡圖，如圖4-38所示． 利用函數(shù)的周期性，把它在上的簡圖向左、右分別擴(kuò)展，就得到函數(shù)R的簡圖． 函數(shù)R的圖像可以由正弦曲線經(jīng)過下面的兩種方式的變換得到： （1）先把圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位長度，得到的圖像；再把的圖

7、像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像． （2）先把的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像；再把的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位長度，得到的圖像． 評析：比較函數(shù)的圖像與的圖像，不難看出，對于的圖像上每一點(diǎn)，在的圖像上總存在唯一一點(diǎn)和它對應(yīng)，因此的圖像，可以看作是先把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的；也可以看作是先把正弦曲線上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）再把所得各點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位而得到的．（變換次序可以改變）． 注意：在由的圖像變換成的圖像時(shí)，因?yàn)橹械呐c2x

8、中的x相對應(yīng)，所以平移的是個(gè)單位，而不是個(gè)單位．（這里是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，必須設(shè)法避免）． 一般地，函數(shù)R的圖像，可以看作是用下面兩種方法得到的： （1）先把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長（當(dāng)時(shí)）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）． （2）先把正弦曲線上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長（當(dāng)時(shí)）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動個(gè)單位長度． 說明：講例2和例3兩題的目的有二：一是把本節(jié)課的知識引伸，二是為下節(jié)課作好準(zhǔn)備，這樣處理教學(xué)內(nèi)容雖然本節(jié)課的難點(diǎn)增加了，難度加大了，但下一節(jié)課

9、的難點(diǎn)分散了，難度降低了，實(shí)踐證明這樣做可以收到較好的教學(xué)效果，便于學(xué)生理解和掌握． ［例6］將余弦曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再將所得圖像向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖像的一個(gè)解析式為___________________． 解一：先把的圖像上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像；再把的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像．所求的解析式為． 解二：先把的圖像上的所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像；再把的圖像上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像，因此所求的解析式為. ［例7］把函數(shù)的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

10、倍，再將圖像向左平移個(gè)單位，所得到的曲線的解析式為，求的一個(gè)解析式． 分析：這個(gè)問題實(shí)際上是對的圖像實(shí)施逆向變換得到的圖像． 解：先把曲線上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到曲線 ； 再把曲線上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）以，得到曲線．因此，所求解析式為． ［例8］將正弦函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖像的解析式為_______________________． 解： 先把的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，再把的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像．因而所求的解析式為. ［例9］為了

11、由函數(shù)的圖像得到函數(shù)的圖像，只要將函數(shù)的圖像 ( ) （A）向左平移個(gè)單位 （B）向右平移個(gè)單位 （C）向左平移個(gè)單位 （D）向右平移個(gè)單位． 解一：∵ 將的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像；再將的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像．于是，把的圖像向左平移個(gè)單位，就得到的圖像．故選（A） 解二：令 得 令 得 點(diǎn)和點(diǎn)是函數(shù)的圖像上和函數(shù)的圖像上的對應(yīng)點(diǎn)，平移方向從點(diǎn)點(diǎn)，所以向左平移個(gè)單位． ［例10］說明函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換就得到函數(shù)的圖像． 分析：因?yàn)橛傻膱D像變換到函數(shù)的圖像有如下兩種方法． （1）把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單

12、位，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），就得到函數(shù)的圖像． （2）把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，就得到函數(shù)的圖像． 分別作以上兩種方法的逆向變換，就可以得到由函數(shù)的圖像變換成函數(shù)的圖像的方法． 解：（1）把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，就得到的圖像． （2）把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），就得到的圖像． 評析：用作逆向變換的方法，可以得到由函數(shù) R的圖像及函數(shù) R的圖像變換到正弦曲線R的方法．這可讓學(xué)生敘述． 說明：以上例題的講解，都要注意以下幾點(diǎn)：①讓學(xué)生體會得三個(gè)參數(shù)中有兩個(gè)變化就引起圖像進(jìn)行兩種變換，進(jìn)一步強(qiáng)化每個(gè)參數(shù)對圖像變化的影響；②講例題時(shí)仍然要堅(jiān)持“數(shù)形結(jié)合”的思想，強(qiáng)化學(xué)生的“數(shù)”與“形”的相互聯(lián)系相互制約的意識；③讓學(xué)生掌握凡是用“圖像變換法”畫出的圖像和解出的問題是否正確，都可以用“五點(diǎn)法”的方法進(jìn)行檢驗(yàn)．