高中數(shù)學 第一章 集合 第2節(jié) 集合的基本關(guān)系基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)

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1、§2 集合的基本關(guān)系 1.理解子集的概念,并能寫出給定集合的子集、真子集. 2.熟記集合相等的定義,能判定給定集合間的關(guān)系. 3.會用Venn圖表示或判斷集合間的關(guān)系. 1.Venn圖 (1)定義:在數(shù)學中,為了直觀地表示集合間的關(guān)系,我們常用封閉曲線的____表示集合,稱為Venn圖. (2)使用方法:把____寫在封閉曲線的內(nèi)部. 常把封閉曲線畫成橢圓或矩形等圖形. 2.子集 (1)一般地,對于兩個集合A與B,如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的____,即若a∈A,則a∈B,我們就說集合A______集合B,或集合B包含集合A,這時我們說集合A是

2、集合B的子集,記作A____B(或BA),讀作“A包含于B”(或“B包含A”). (2)當AB時,用Venn圖表示,如圖①,圖②所示. (3)規(guī)定:空集是任何集合的____,即A. 子集性質(zhì):任何一個集合都是它本身的子集,即AA;對于集合A,B,C,如果AB,BC,那么AC. 【做一做1】列舉出集合{1,2,3}的所有子集. 3.集合相等 (1)定義1:只要構(gòu)成兩個集合的__________是一樣的,即這兩個集合中的元素完全相同,就稱這兩個集合相等. (2)定義2:如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素,即___________,且集合B中的任何一

3、個元素都是集合A中的元素,即___________,那么就說集合A與集合B相等,記作A=B. (3)圖示:當A=B時,用Venn圖表示,如圖所示. 【做一做2】 試確定整數(shù)x,y,使得{2x,x+y}={7,4}. 4.真子集 (1)定義:如果集合AB,且________,我們就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA). (2)圖示:當AB時,用Venn圖表示,如圖所示. (3)當集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時,記作AB(或BA). 空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠). 當AB時,AB或A=B. 【做一做3】 下列說法正確的

4、是( ). A.任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集 B.任何一個集合必有一個真子集 C.任何集合都有子集 D.空集不是空集的子集 答案:1.(1)內(nèi)部 (2)元素 2.(1)元素 包含于  (3)子集 【做一做1】 解:集合{1,2,3}的所有子集為,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共8個. 3.(1)元素 (2)AB BA 【做一做2】 解:由集合相等的定義,得或 解得或又x,y是整數(shù),故 4.(1)A≠B  【做一做3】 C 此題主要考查對子集、真子集概念的理解以及空集的有關(guān)問題,注意以下幾個結(jié)論:①任何非空集

5、合既有子集又有真子集,而空集只有子集(空集本身),沒有真子集.②空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.故A,B,D是錯誤的,應(yīng)選C. 1.如何理解子集的概念? 剖析:(1)“A是B的子集”的含義是:集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解成“A是B中部分元素組成的集合”,因為當A=時,AB,但A中不含任何元素;又當A=B時,也有AB,但A中含有B中的所有元素,這兩種情況都使AB成立. 2.符號∈和有什么區(qū)別? 剖析:符號∈只能適用于元素與集合之間,符號∈的左邊只能寫元素,右邊只能寫集合,說明左邊的元素屬于右邊的集合,

6、表示元素與集合之間的關(guān)系,如-1∈Z,∈R;符號只能適用于集合與集合之間,其左右兩邊都必須寫集合,說明左邊的集合是右邊集合的子集,左邊集合的元素均屬于右邊的集合,如{1}{1,0},{x|x<2}{x|x<3}. 題型一 確定集合的子集、真子集 【例1】 設(shè)A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},寫出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集. 分析:要確定集合A的子集、真子集,首先必須清楚集合A中的元素.由于集合A中的元素是方程(x2-16)(x2+5x+4)=0的根,所以要先解該方程. 反思:(1)求集合的子集問題時,一般可以按照集合的元素個數(shù)進行分類,再依次找出每類中

7、符合要求的集合. (2)解決這類問題時,還要注意兩個比較特殊的集合,即和集合自身. (3)集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為:含有n個元素的集合有2n個子集,有(2n-1)個真子集,有(2n-2)個非空真子集. 題型二 集合的相等 【例2】 已知集合A=,B={-x2,0},若A=B,則x2 009+y2 010=__________,A=B=__________. 反思:解決此類問題的步驟:(1)利用集合相等的條件,建立方程或方程組,求得參數(shù).(2)把所得數(shù)值依次代入集合驗證,若滿足元素的三個特性,則所求是可行的,否則應(yīng)舍去. 題型三 判斷集合間的關(guān)系 【例3】 設(shè)集合M=,N=,

8、則( ). A.M=N B.MN C.MN D.M∩N= 反思:判斷兩個集合間的關(guān)系時,主要是根據(jù)這兩個集合中元素的特征,結(jié)合有關(guān)定義來判斷.對于用列舉法表示的集合,只需要觀察其元素即可得它們之間的關(guān)系;對于用描述法表示的集合,要從所含元素的特征來分析,分析之前可以用列舉法多取幾個元素來估計它們之間可能有什么關(guān)系,然后再加以證明. 題型四 已知兩集合之間的關(guān)系,求參數(shù)的范圍 【例4】 設(shè)集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},已知BA.求實數(shù)m的取值范圍. 分析:由BA可得集合B=或B中的任何一個元素

9、都在集合A中,可借助數(shù)軸解決. 反思:已知兩集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值時,要明確集合中的元素,通常依據(jù)相關(guān)的定義,觀察這兩個集合元素的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式. 本題中,集合B可能為易被忽視,要注意這一“陷阱”,BA表明集合B的元素都是集合A的元素,其中包含B=. 題型五 易錯辨析 易錯點 忽略空集致錯 【例5】 已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|mx-1=0},若QP,則實數(shù)m=__________. 錯解:由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2}; 由Q={x|mx-1=0},得Q=.∵QP, ∴=-3或=2,解得m=-或m=. 則實數(shù)m的值可取

10、-或. 錯因分析:當集合Q=,即m=0時,顯然也滿足QP,錯解中少了對這種情況的討論. 答案:【例1】 解:將方程(x2-16)(x2+5x+4)=0因式分解得(x-4)(x+1)(x+4)2=0,則可得方程的根為x=-4或x=-1或x=4.故集合A={-4,-1,4},其子集為,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,1,4},真子集為,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}. 【例2】 -1 {-1,0} 根據(jù)集合相等的定義知x=0或=0. 當x=0時,無意義,所以只能=0,得y=0,代入A,B得A={x,

11、0},B={-x2,0}. 又∵A=B,∴-x2=x.∴x=0或x=-1. 當x=0時,不合題意,舍去. 當x=-1時,A={-1,0},B={-1,0}. ∴A=B,符合題意. ∴x2 009+y2 010=(-1)2 009+02 010=-1. 【例3】 B M中,x=+=,N中,x=,由于k∈Z, ∴M中的x表示的奇數(shù)倍,N中的x表示的整數(shù)倍. ∴MN. 【例4】 解:當m-1>2m+1,即m<-2時,B=,符合題意. 當m-1≤2m+1,即m≥-2時,B≠. 由BA,借助數(shù)軸表示如圖所示. 則解得0≤m≤. 綜上所述,m<-2或0≤m≤. 【例5】 正

12、解:由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2}. 當m=0時,方程mx-1=0無解,此時集合Q=,滿足題意; 當m≠0時,方程mx-1=0的解為x=,此時集合Q=. ∵QP,∴=-3或=2,解得m=-或m=. 綜上所述,實數(shù)m的值為0或-或. 1 下列關(guān)系中正確的個數(shù)為( ). ①0∈{0};②{0};③{0,1}{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)} A.1 B.2 C.3 D.4 2 集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的個數(shù)是( ). A.16

13、 B.8 C.7 D.4 3 已知集合A={x∈R|-2<x<4},B={x|x-5<0},則A與B之間的關(guān)系為( ). A.AB B.AB C.A=B D.不確定 4 已知集合M={-8,1,9},集合N={1,m-1},若NM,則實數(shù)m=__________. 5 已知M={0,2,b},N={0,2,b2},且M=N,求實數(shù)b的值. 答案:1.B?、佗谡_,③④錯誤. 2.C 由題意知,A={0,1,2},故A的真子集的個數(shù)是23-1=7. 3.A 為便于考察A,B中元素的范圍,利用數(shù)軸把A,B表示出來,如圖所示. ∵x-5<0,∴x<5.因此B中元素不能都屬于A,但A中元素都小于5(即都在B中),由真子集的定義知A是B的真子集. 4.-7或10 ∵m-1∈N,NM,∴m-1∈M. ∴m-1=-8或m-1=9.∴m=-7或10. 5.分析:由b=b2解得b,要注意滿足集合元素的互異性. 解:∵M=N,∴b=b2. 解得b=1或b=0(舍去).∴b=1.

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