高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第4節(jié) 對(duì)數(shù)(第2課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)

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1、4.2 換底公式 1.了解換底公式. 2.會(huì)用換底公式將一般對(duì)數(shù)化成常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù). 換底公式 logbN=__________(a,b>0,a,b≠1,N>0) 可用換底公式證明以下結(jié)論: ①logab=; ②logab·logbc·logca=1; ③loganbn=logab; ④loganbm=logab; ⑤=-logab. 換底公式真神奇,換成新底可任意, 原底加底變分母,真數(shù)加底變分子. 【做一做1-1】 log713等于( ). A.log137 B. C.

2、 D. 【做一做1-2】 log47·log74等于( ). A.0 B.1 C.4 D.7 答案: 【做一做1-1】 B 【做一做1-2】 B 換底公式的意義是什么? 剖析:換底公式的意義如下: 在使用換底公式時(shí),底數(shù)的取值不唯一,可根據(jù)實(shí)際情況選擇. 題型一 換底公式的應(yīng)用 【例1】 計(jì)算:(1)log1627log8132; (2)(log32+log92)(log43+log83). 分析:在兩個(gè)式子中,底數(shù)、真數(shù)都不相同,因而要用換底公式進(jìn)行換底便于計(jì)算求值. 反思:換底公式中的底可由

3、條件決定,也可換為常用對(duì)數(shù)的底,一般來講,對(duì)數(shù)的底越小越便于化簡(jiǎn),如an為底的換為a為底. 題型二 用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù) 【例2】 已知log142=a,用a表示. 分析:借助對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的換底公式等,建立所求結(jié)果與已知條件之間的關(guān)系. 反思:用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)時(shí),若它們的底數(shù)不相同,常用換底公式來解決. 題型三 實(shí)際應(yīng)用 【例3】 2000年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)為89 442億元.如果我國(guó)GDP年均增長(zhǎng)7.8%左右,那么按照這個(gè)增長(zhǎng)速度,在2000年的基礎(chǔ)上,經(jīng)過多少年以后,我國(guó)GDP才能實(shí)現(xiàn)比2000年翻兩番的目標(biāo)? 分析:歸納出國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值與年數(shù)的關(guān)系

4、式,再利用對(duì)數(shù)求解. 反思:解有關(guān)對(duì)數(shù)應(yīng)用問題的步驟是:(1)審清題意,弄清各數(shù)據(jù)的含義;(2)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù),建立數(shù)學(xué)模型,即已知ax=N(a,N是常數(shù),且a>0,a≠1),求x;(3)利用換底公式借助于計(jì)算器來解決數(shù)學(xué)模型;(4)還原為實(shí)際問題,歸納結(jié)論. 答案:【例1】 解:(1)log1627log8132=× =×=×=. (2)(log32+log92)(log43+log83) = =(log32+log32) =log32×log23=××=. 【例2】 解法1:∵log142=a,∴l(xiāng)og214=.∴1+log27=. ∴l(xiāng)og27=-1. 由對(duì)數(shù)換底

5、公式,得log27=, ∴l(xiāng)og7=2log27=2=. 解法2:由對(duì)數(shù)換底公式,得 log142==a, ∴2=a(),即. 解法3:由對(duì)數(shù)換底公式,得 =2log27 =2(log214-log22)=2=. 【例3】 解:假設(shè)經(jīng)過x年實(shí)現(xiàn)GDP比2000年翻兩番的目標(biāo). 根據(jù)題意,得89 442×(1+7.8%)x=89 442×4, 即1.078x=4, 故x=log1.0784=≈18.5. 答:約經(jīng)過19年以后,我國(guó)GDP才能實(shí)現(xiàn)比2000年翻兩番的目標(biāo). 1 下列等式不成立的是( ). A.log54=

6、 B.log54= C.log54= D.log54= 2 log8127等于( ). A. B. C. D. 3 的值等于__________. 4 已知log23=a,log37=b,則log27=__________.(用a,b表示) 5 已知2x=3y=6z≠1,求證:. 答案:1.D 2.A log8127=. 3. 原式=. 4.a(chǎn)b log27=log23·log37=ab. 5.分析:設(shè)2x=3y=6z=k,化指數(shù)為對(duì)數(shù),求出x,y,z的值. 證明:設(shè)2x=3y=6z=k(k≠1), ∴x=log2k,y=log3k,z=log6k. ∴=logk2,=logk3,=logk6=logk2+logk3. ∴.

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