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1、映 射
一、習(xí)題精選
（1）設(shè)集合 ， ，從 到 的對應(yīng)法則 不是映射的是(? )．
??????????????????? ?????
???????????????????
（2） 已知映射 ，其中集合 ，且對任意 ，在 中和它對應(yīng)的元素是 ，則集合 中元素的個數(shù)最少是___________．
?。?）設(shè)集合 ， ．下列四個圖象中，表示從 到 的映射的是(?? )．
?。?）已知從 到 的映射 ，則 的原象是__________．
?。?）已知從 到 的映射是 ，從 到 的映射是 ，其中 ，則從 到 的映射是___________．
?。?
2、）已知集合 ， ，
且 是由 到 的一一映射，求 的值．
答案：(1) ； (2) 4； (3) ； (4) 或 ； (5) ； (6)
二、典型例題
例1 下列集合 到集合 的對應(yīng)中，判斷哪些是 到 的映射? 判斷哪些是 到 的一一映射?
(1) ，對應(yīng)法則 ．
(2) ， ， ， ， ．
(3) ， ，對應(yīng)法則 取正弦．
(4) ， ，對應(yīng)法則 除以2得的余數(shù)．
(5) ， ，對應(yīng)法則 ．
(6) ， ，對應(yīng)法則 作等邊三角形的內(nèi)切圓．
分析：解決的起點是讀懂各對應(yīng)中的法則含義，判斷的依據(jù)是映射和一一映射的概念，要求對“任一對唯一”有
3、準(zhǔn)確的理解，對問題考慮要細致，周全．
解：(1)是映射，不是一一映射，因為集合 中有些元素(正整數(shù))沒有原象．
(2)是映射，是一一映射．不同的正實數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實數(shù)，任何一個正數(shù)都存在倒數(shù)．
(3)是映射，是一一映射，因為集合 中的角的正弦值各不相同，且集合 中每一個值都可以是集合 中角的正弦值．
(4)是映射，不是一一映射，因為集合 中不同元素對應(yīng)集合 中相同的元素．
(5)不是映射，因為集合 中的元素(如4)對應(yīng)集合 中兩個元素(2和-2)．
(6)是映射，是一一映射，因為任何一個等邊三角形都存在唯一的內(nèi)切圓，而任何一個圓都可以是一個等邊
4、三角形的內(nèi)切圓．邊長不同，圓的半徑也不同．
說明：此題的主要目的在于明確映射構(gòu)成的三要素的要求，特別是對于集合 ，集合 及對應(yīng)法則 有哪些具體要求，包括對法則 是數(shù)學(xué)符號語言給出時的理解．例2 給出下列關(guān)于從集合 到集合 的映射的論述，其中正確的有_________．
(1) 中任何一個元素在 中必有原象;??????????????????????????????????????????
(2) 中不同元素在 中的象也不同 ;
(3) 中任何一個元素在 中的象是唯一的;
(4) 中任何一個元素在 中可以有不同的象;
(5) 中某一元素在 中的原象可能不止
5、一個;
(6)集合 與 一定是數(shù)集；
(7)記號 與 的含義是一樣的．
分析：此題是對抽象的映射概念的認(rèn)識，理論性較強，要求較高，判斷時可以讓學(xué)生借助具體的例子來幫助．
解： (1)不對? (2)不對?? (3)對???? (4)不對??? (5)對????? (6)不對???? (7)不對
說明：對此題的判斷可以將映射中隱含的特點都描述出來，對映射的認(rèn)識更加全面，準(zhǔn)確．
例3 (1) ， ， ， ， ．在 的作用下， 的原象是多少?14的象是多少?
(2)設(shè)集合 {偶數(shù)}，映射 把集合A中的元素 映射到集合B中的元素 ，則在映射 下，象20的原象是
6、多少？
?(3) 是從 到 的映射，其中 ， ， ，則 中元素 的象是多少? 中元素 的原象是多少?
分析：通過此題讓學(xué)生不僅會求指定元素象與原象，而且明確求象與原象的方法．
解：(1)由 ，解得 ，故 的原象是6;
??????? 又 ，故14的象是 ．
(2)由 解得 或 ，又 ，故 即20的原象是5．
(3) 的象是 ，由 解得 ，故 的原象是1
說明：此題主要作用在于明確利用代入法求指定元素的象，而求原象則需解方程或方程組．在本題中第(2)小題和第(3)小題在求象時，對 和 的制約條件都是兩條，應(yīng)解方程組，且還可以對方程組解的情況進行討論(無解，有唯一解，無數(shù)解)．其中第(3)小題集合 中的元素應(yīng)是二元數(shù)(有序數(shù)對)，計算出的象必須寫成有序數(shù)對的形式，所以求原象時必須先認(rèn)清集合的特征．
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