高中數(shù)學 第二章 函數(shù) 第5節(jié) 簡單的冪函數(shù)基礎知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、§5 簡單的冪函數(shù) 1．了解冪函數(shù)的概念． 2．理解函數(shù)的奇偶性的含義，掌握函數(shù)的奇偶性的判斷方法及應用． 1．冪函數(shù) 如果一個函數(shù)，__________是自變量x，__________是常量α，即y＝__________，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)． 根據(jù)課程標準的要求，僅要求學習指數(shù)α＝－1，，1,2,3，共5種冪函數(shù)的性質． 【做一做1－1】 下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是( )． A．y＝xx B．y＝ C．y＝

2、 D．y＝ 【做一做1－2】 冪函數(shù)f(x)的圖像過點，則f(x)＝__________. 2．奇函數(shù) 一般地，圖像關于____對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)． 函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 對定義域內任意x，有f(－x)＝－f(x) 對定義域內任意x，有f(－x)＋f(x)＝0 f(x)的圖像關于原點對稱． 【做一做2】 設α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為( )． A．1,3 B．－1,1 C．－1,3

3、 D．－1,1,3 3．偶函數(shù) 一般地，圖像關于_____________對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)． 函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 對定義域內任意x，有f(－x)＝f(x) 對定義域內任意x，有f(－x)－f(x)＝0 f(x)的圖像關于y軸對稱． 【做一做3】 若函數(shù)y＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則a＝( )． A．－2 B．－1 C．1 D．2 4．奇偶性 (1)定義：當函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，

4、稱函數(shù)f(x)具有奇偶性． (2)幾何意義：定義域關于原點對稱；圖像關于____或____對稱． 函數(shù)的奇偶性是在整個定義域上的性質，是“整體性質”，而函數(shù)的單調性是在函數(shù)定義域或其子集上的性質，是“局部”性質． 【做一做4】 下列函數(shù)圖像中能表示函數(shù)具有奇偶性的可能是( )． 答案：1．底數(shù)　指數(shù)　xα 【做一做1－1】 D　根據(jù)冪函數(shù)的定義易得到答案． 【做一做1－2】 x－3　設冪函數(shù)的解析式為f(x)＝xα(α為常數(shù))，則＝2α，解得α＝－3，即函數(shù)的解析式為f(x)＝x－3. 2．原點 【做一做2】 A　y＝x－1＝的定義域不是R，y＝＝的定義域不是R，

5、y＝x1與y＝x3的定義域是R且為奇函數(shù)． 3．y軸 【做一做3】 C　令y＝f(x)，取特殊值x＝1， 則f(1)＝2(1－a)； 取特殊值x＝－1，則f(－1)＝0. ∵y＝f(x)為偶函數(shù)， ∴f(1)＝f(－1)，即2(1－a)＝0.∴a＝1. 4．(2)原點　y軸 【做一做4】 B 1．冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))的圖像的特點 剖析：(1)所有的圖形都通過(1,1)點． (2)當α大于0時，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是增加的，而α小于0時，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減少的． (3)當α＞1時，在(0，＋∞)上冪函數(shù)圖像向下凸起，當0＜α＜1時，冪函數(shù)圖像向上凸起．

6、 (4)當α小于0時，α越小，圖像傾斜程度越大． (5)α大于0，函數(shù)過(0,0)點；α小于0，函數(shù)不過(0,0)點． 2．對函數(shù)奇偶性定義的理解 剖析：(1)從函數(shù)奇偶性定義來看，奇、偶函數(shù)的定義域一定關于原點對稱，否則此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．所以判斷函數(shù)的奇偶性，應先看其定義域是否關于原點對稱． (2)函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的定義域而言，這一點與函數(shù)單調性不同，從這個意義上說，函數(shù)單調性是函數(shù)的“局部”性質，而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質． (3)函數(shù)f(x)＝c(c是常數(shù))是偶函數(shù)，當c＝0時，該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． 題型一 判斷冪函數(shù) 【例1】 在函數(shù)y＝，y＝

7、2x2，y＝x2＋x中，冪函數(shù)的個數(shù)為( )． A．0 B．1 C．2 D．3 反思：冪函數(shù)的定義要求比較嚴格，系數(shù)為1，底數(shù)是x，α∈R為常數(shù)．形如y＝axα(a≠1)等都不是冪函數(shù)． 題型二 判斷函數(shù)的奇偶性 【例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝(x－1)·； (3)f(x)＝＋. 分析：利用函數(shù)奇偶性的等價關系來判斷． 反思：(1)判定函數(shù)奇偶性一般不用定義判定，而利用等價關系f(－x)＝±f(x)． (2)判斷函數(shù)奇偶性分兩步：①定義

8、域是否關于原點對稱；②f(－x)＝f(x)還是f(－x)＝－f(x)． (3)如果一個函數(shù)的定義域關于坐標原點不對稱，那么這個函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (4)定義域關于原點對稱，滿足f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)的函數(shù)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，如f(x)＝0，x∈R. 題型三 函數(shù)奇偶性的應用 【例3】 若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f(x)＝x(1－x)，求函數(shù)f(x)的解析式． 分析：將x＞0時的解析式轉化為x＜0時的解析式求解． 反思：若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(0)有意義，則f(0)＝0；若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)＝

9、f(|x|)＝f(－|x|)． 解決本題的關鍵是借助于函數(shù)的奇偶性，利用x＜0時的解析式求得x＞0時的解析式． 題型四 抽象函數(shù)的奇偶性的判斷 【例4】 若函數(shù)f(x)的定義域為R，且對任意x，y，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)恒成立，試判斷f(x)的奇偶性；又若f(8)＝4，求f的值． 分析：因為f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對任意x，y恒成立，所以可對x，y取某些特殊值． 反思：此題給出的函數(shù)無具體的解析式稱之為抽象函數(shù)，要判斷其奇偶性，需要充分利用所給定的條件，對變量賦值． 賦值法，也即特殊值代入法，是解決抽象函數(shù)恒成立問題的常用方法． 題型五 易錯辨析 易錯點 忽略

10、分段函數(shù)的整體性致錯 【例5】 判斷函數(shù)f(x)＝的奇偶性． 錯解：∵f(x)＝x2＋x－1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，f(x)＝－x2＋x＋1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)， ∴f(x)＝既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 錯因分析：錯解忽略了分段函數(shù)的整體性，把分段函數(shù)f(x)看成了兩個函數(shù)，實際上分段函數(shù)是一個函數(shù)，需要整體研究． 答案：【例1】 B　根據(jù)定義，僅有y＝是冪函數(shù)． 【例2】 解：(1)∵函數(shù)定義域為R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)． (2)∵定義域為{x|x＞1或x≤－1}，定義域關于原點不對稱， ∴f(x)為非奇非偶

11、函數(shù)． (3)∵定義域為{－2,2}，任取x∈{－2,2}， 則－x∈{－2,2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)， ∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． 【例3】 解：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． 當x＞0時，－x＜0， ∴f(－x)＝－x(1＋x)．∴f(x)＝x(1＋x)． 當x＝0時，f(－0)＝－f(0)， 即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝ 【例4】 解：令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0. 令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－

12、x)＝－f(x)．∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． 令y＝x，由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 可得f(2x)＝2f(x)，由此可得 4＝f(8)＝2f(4)＝4f(2)＝8f(1)＝16f， ∴f＝. ∴f＝－f＝－. 【例5】 正解：函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于坐標原點對稱． 當x＜0時，－x＞0，于是f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＋1＝－x2－x＋1＝－(x2＋x－1)＝－f(x)； 當x＞0時，－x＜0，于是f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1＝－(－x2＋x＋1)＝－f(x)． ∴當x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，f(－x)

13、＝－f(x)， 故f(x)是奇函數(shù)． 1 (2020黑龍江大慶高一期末)下列所給出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是( )． A．y＝x－3 B．y＝－x3 C．y＝2x3 D．y＝x3－1 2 函數(shù)f(x)＝的圖像關于( )． A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱 C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱 3 冪函數(shù)f(x)的圖像過，則f(4)等于( )． A．16

14、 B．2 C. D. 4 設奇函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2，a]，滿足f(－2)＝11，則f(a)＝__________. 5 函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增加的，試比較與f(1)的大?。? 答案：1．A 2．C　定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖像關于坐標原點對稱． 3．C　設f(x)＝xα，則2α＝，所以，f(x)＝，f(4)＝.故選C. 4．－11　由奇函數(shù)的定義域關于原點對稱知a＝2，且f(a)＝f(2)＝－f(－2)＝－11. 5．解：∵－1＜，且函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的， ∴f(－1)＜. 又∵y＝f(x)是偶函數(shù)， ∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)＜.