高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第2節(jié) 實(shí)際問題的函數(shù)建?;A(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)
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1、§2 實(shí)際問題的函數(shù)建模 1.初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡(jiǎn)單問題. 2.了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟,體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本思想. 1.實(shí)際問題的函數(shù)刻畫 在現(xiàn)實(shí)世界里,事物之間存在著廣泛的聯(lián)系,許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫.用______的觀點(diǎn)看實(shí)際問題,是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容. 【做一做1-1】 一輛勻速行駛的火車90 min行駛了180 km,則這輛火車行駛的路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式為( ). A.y=2t B.y=120t C.y=2t(t≥0)
2、 D.y=120t(t≥0) 【做一做1-2】 據(jù)報(bào)道,全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%,如果按此速度,設(shè)2000年的冬季冰雪覆蓋面積為m,從2000年起,經(jīng)過x年后,北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是( ). A.y= B.y= C.y=0.9550-x·m D.y=(1-0.0550-x)·m 2.用函數(shù)模型解決實(shí)際問題 函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一.許多實(shí)際問
3、題一旦認(rèn)定是函數(shù)關(guān)系,就可以通過研究函數(shù)的____________把握問題,使問題得到解決. 通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律,往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),觀察這些點(diǎn)的___________,看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖像,選定函數(shù)形式后,將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式,求出具體的____________,再做必要的檢驗(yàn),基本符合實(shí)際,就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律,這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合.在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中,很多規(guī)律、定律都是先通過__________,得到__________,再通過數(shù)據(jù)__________得到的. 【做一做2-1】 某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)
4、構(gòu)進(jìn)行了重大調(diào)整,調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速,后期增長(zhǎng)越來越慢,若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與時(shí)間x的關(guān)系,可選用( ). A.一次函數(shù) B.二次函數(shù) C.指數(shù)型函數(shù) D.對(duì)數(shù)型函數(shù) 【做一做2-2】 一個(gè)水池每小時(shí)注入水量是全池的,水池還沒有注水部分的總量y隨時(shí)間x變化的關(guān)系式為__________. 3.函數(shù)建模 (1)定義:用數(shù)學(xué)思想、_________、_________解決實(shí)際問題的過程叫作數(shù)學(xué)建模. (2)過程:
5、如圖所示. 【做一做3-1】 (2020福州三中期中)某地區(qū)土地沙化越來越嚴(yán)重,最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬公頃,0.4萬公頃和0.76萬公頃,則與沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是( ). A.y=0.2x B.y=(x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 【做一做3-2】 今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5
6、4.04 7.5 12 18.01 則最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是( ). A.u=log2t B.u=2t-2 C.u= D.u=2t-2 答案:1.函數(shù) 【做一做1-1】 D 【做一做1-2】 A 2.性質(zhì) 整體特征 函數(shù)表達(dá)式 實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù) 擬合 【做一做2-1】 D 【做一做2-2】 y=1-,x∈[0,10] 設(shè)滿池為1,則有水的部分為1-y, 于是1-y=·x, 即y=1-,x∈[0,10]. 3.(1
7、)方法 知識(shí) (2)問題 檢驗(yàn) 【做一做3-1】 C 【做一做3-2】 C 可以先畫出散點(diǎn)圖,并利用散點(diǎn)圖直觀地認(rèn)識(shí)變量間的關(guān)系,選擇合適的函數(shù)模型來刻畫它.散點(diǎn)圖如圖所示, 由散點(diǎn)圖可知,圖像不是直線,排除D項(xiàng);圖像不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征,排除A項(xiàng); 當(dāng)t=3時(shí),2t-2=23-2=6,==4, 由表格知當(dāng)t=3時(shí),u=4.04,模型u=能較好地體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系. 1.應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的步驟 剖析:(1)認(rèn)真審題. 讀懂題中的文字?jǐn)⑹?,理解敘述所反映的?shí)際背景,領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)問題,尤其是理解敘述中的名詞、概念,以及題中單位之間的關(guān)系. 分析出已
8、知是什么,求什么,涉及哪些知識(shí),確定自變量與函數(shù)的關(guān)系.審題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵量,要勇于嘗試、探索,敏于發(fā)現(xiàn)、歸納,善于聯(lián)想,實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化. (2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型. 設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,用含x的表達(dá)式表示各相關(guān)變量,根據(jù)問題的已知條件,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)以及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式,即建立數(shù)學(xué)模型. (3)用數(shù)學(xué)方法將所得到的函數(shù)模型問題予以解答,求得結(jié)果. (4)再轉(zhuǎn)化成實(shí)際問題,進(jìn)行檢驗(yàn)作出規(guī)范解答. 簡(jiǎn)言之,可概括為“四步八字”,即審題——建模——求解——還原. 2.常見的幾種函數(shù)模型 剖析:(1)直線模型:一次函數(shù)模型y=k
9、x+b(k≠0),圖像增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線式上升(x的系數(shù)k>0),通過圖像可以直觀地認(rèn)識(shí)它,特例是正比例函數(shù)模型y=kx(k>0). (2)反比例函數(shù)模型:y=(k>0)型,增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減?。? (3)指數(shù)函數(shù)模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,a≠0),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(底數(shù)b>1,a>0),常形象地稱為指數(shù)爆炸. (4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型,即y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大越來越慢(底數(shù)a>1,m>0). (5)冪函數(shù)模型,即y=a·xn+b(a≠0)型,其中最常見的是二次函數(shù)模型:y
10、=ax2+bx+c(a≠0),其特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值先減小,后增大(a>0). 在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí),要注意函數(shù)圖像的直觀運(yùn)用,分析圖像特點(diǎn),分析變量x的范圍,同時(shí)還要與實(shí)際問題結(jié)合,如取整等. 題型一 用函數(shù)刻畫實(shí)際問題 【例1】 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示. (1)求圖中陰影部分的面積,并說明所求面積的實(shí)際含義; (2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2 004 km,試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間t h的函數(shù)解析式,并作出相應(yīng)的圖像. 反思:在解決實(shí)際問題的過程中,函數(shù)圖像能夠發(fā)揮很好
11、的作用,因此,我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力.另外,本例題涉及到了分段函數(shù),分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型. 題型二 已知函數(shù)模型的應(yīng)用題 【例2】 我們知道,燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬,研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn),兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v=5log2,單位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量. (1)計(jì)算:燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位? (2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí),它的飛行速度是多少? 分析:(1)轉(zhuǎn)化為當(dāng)v=0時(shí),求Q的值; (2)轉(zhuǎn)化為當(dāng)Q=80時(shí),求v的值. 反思:一般來說,若題中已給出數(shù)學(xué)模型,只要解數(shù)學(xué)模型即可,較常用的方法是待定系數(shù)法解模型,然后
12、再利用相應(yīng)的解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題. 題型三 建立函數(shù)模型的應(yīng)用題 【例3】 某旅游公司有客房300間,每間日房租為20元,每天都客滿.公司欲提高檔次,并提高租金.如果每間客房每日增加2元,客房出租就會(huì)減少10間,若不考慮其他因素,公司將房間租金提高多少時(shí),每天客房的租金總收入最高? 分析:列出函數(shù)的解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值. 反思:當(dāng)實(shí)際應(yīng)用題中沒有給出函數(shù)模型而函數(shù)模型又唯一時(shí),其解題步驟是: (1)認(rèn)真讀題,審題,確切理解題意,明確問題實(shí)際背景; (2)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù),列出函數(shù)解析式,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題,即實(shí)際問題函數(shù)化; (3)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)
13、學(xué)方法解答函數(shù)問題,得出函數(shù)問題的解; (4)將所得函數(shù)問題的解還原成實(shí)際問題的結(jié)論. 題型四 擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題 【例4】 為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響,在山上建立了一個(gè)觀察站,測(cè)量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料,如下表所示. 年序 最大積雪深度x(cm) 灌溉面積y(公頃) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8
14、 10 19.1 36.9 (1)描點(diǎn)畫出灌溉面積y隨最大積雪深度x變化的圖像. (2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并畫出圖像. (3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25 cm,則可以灌溉土地多少公頃? 分析:首先根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,然后通過觀察圖像判斷問題所適用的函數(shù)模型. 反思:對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式,再解決數(shù)學(xué)問題,最后驗(yàn)證并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答,這個(gè)過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是: (1)能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出散點(diǎn)圖. (2)通過考查散點(diǎn)圖,畫出“最貼近”的直
15、線或曲線,即擬合直線或擬合曲線.如果所有實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線或曲線上,滴“點(diǎn)”不漏,那么這將是一件十分完美的事情,但在實(shí)際應(yīng)用中,這種情況一般不會(huì)發(fā)生.因此,使實(shí)際點(diǎn)盡可能均勻分布在直線或曲線兩側(cè),使兩 側(cè)的點(diǎn)大體相等,得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了. (3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí),求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式. (4)利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制,為決策和管理提供依據(jù). 答案:【例1】 解:(1)陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360 km. (2)根據(jù)
16、題圖,有 s= 這個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示. 【例2】 解:(1)由題知,當(dāng)燕子靜止時(shí),它的速度v=0, 可得0=5log2, 解得Q=10, 即燕子靜止時(shí)的耗氧量是10個(gè)單位. (2)將耗氧量Q=80代入所給公式,得 v=5log2=5log28=15(m/s). 即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí),它的飛行速度為15 m/s. 【例3】 解:設(shè)客房租金每間提高2x元時(shí),客房租金總收入為y元, 由題意得,y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+400x+6 000 =-20(x-10)2+8 000(0≤x<150,x∈N), 則當(dāng)x=10時(shí),y有最
17、大值為8 000, 即將客房租金提高到20+2×10=40(元/間)時(shí),每天客房租金總收入最高為8 000元. 【例4】 解:(1)描點(diǎn)作圖如下: (2)從圖①中可以看到,數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近,由此,我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y=a+bx. 取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得 用計(jì)算器可算得a≈2.4,b≈1.8. 這樣,我們得到一個(gè)函數(shù)模型y=2.4+1.8x,作出函數(shù)圖像如圖②,可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系. (3)由y=
18、2.4+1.8×25,求得y=47.4,即當(dāng)積雪深度為25 cm時(shí),可以灌溉土地47.4公頃. 1 某物體一天中的溫度T(℃)是時(shí)間t(h)的函數(shù),T=t3-3t+60.當(dāng)t=0時(shí)表示12:00,其后t取值為正,則上午8:00的溫度是( ). A.112 ℃ B.58 ℃ C.18 ℃ D.8 ℃ 2 下圖是某種豆類生長(zhǎng)枝數(shù)y(枝)與時(shí)間t(月)的圖像,那么此種豆類生長(zhǎng)枝數(shù)與時(shí)間的關(guān)系用下列函數(shù)模型近似刻畫最好的是( ). A.y=2t2 B.y=log2t C.y=t3 D.y=2t 3
19、 某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加25%出售,后因庫(kù)存積壓降價(jià),按九折出售,每件還獲利( ). A.25元 B.20.5元 C.15元 D.12.5元 4 用一根長(zhǎng)為12 m的鐵絲彎成一個(gè)矩形的鐵框架,則能彎成的框架的最大面積是__________. 5 某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬元,生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3 000元,每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5 000元.分別寫出總成本C(萬元)、單位成本P(萬元)、銷售收入R(萬元)以及利潤(rùn)L(萬元)關(guān)于總產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式. 答案:1.D
20、當(dāng)t=-4時(shí), T=(-4)3-3×(-4)+60=8.故選D. 2.D 根據(jù)圖像特征可直接得:用y=2t近似刻畫最好.故選D. 3.D 每件獲利100(1+25%)×0.9-100 =100(1.25×0.9-1)=12.5(元). 4.9 m2 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m,則寬為m, ∴面積S=x(6-x)=-x2+6x(0<x<6), 當(dāng)x=3 時(shí),S最大=9. 5.解:總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為C=200+0.3x,x∈N+. 單位成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為P=+0.3,x∈N+. 銷售收入與總產(chǎn)量的關(guān)系為R=0.5x,x∈N+. 利潤(rùn)與總產(chǎn)量的關(guān)系為L(zhǎng)=R-C=0.2x-200,x∈N+.
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