高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程(第1課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)

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1、1.1 利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在 1.了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系. 2.掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法. 3.探究在某區(qū)間上圖像連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法. 1.函數(shù)的零點(diǎn) (1)定義:函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的______稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn). (2)意義:函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程______的解. ①方程f(x)=0有解函數(shù)f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)f(x)有零點(diǎn). ②并非所有的函數(shù)都有零點(diǎn).例如,函數(shù)f(x)=x2+1,由于方程x2+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根,則該函數(shù)無(wú)零點(diǎn). 【做一做1-1】 函數(shù)y=x的零點(diǎn)是( ). A.

2、(0,0) B.0 C.1 D.不存在 【做一做1-2】 函數(shù)f(x)=x2-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 2.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是____曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)______,即______<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有____零點(diǎn),即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解. 當(dāng)函數(shù)y=f(

3、x)同時(shí)滿足:①函數(shù)的圖像在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)曲線;②f(a)·f(b)<0,則可以判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),但是不能明確說(shuō)明有幾個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)函數(shù)y=f(x)的圖像在閉區(qū)間[a,b]上不是連續(xù)曲線,或不滿足f(a)·f(b)<0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)可能存在零點(diǎn),也可能不存在零點(diǎn). 例如:①二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[3,4]上有f(3)=0,f(4)>0,所以有f(3)·f(4)=0,但3是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn). ②函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上,f(-1)·f(1)=1>0,但是它存在零點(diǎn)0. ③函數(shù)f(x)=

4、在區(qū)間[-1,1]上有f(-1)·f(1)<0,但是由其圖像知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn). 【做一做2-1】 已知函數(shù)f(x)=x3-x-1僅有一個(gè)正零點(diǎn),則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是( ). A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 【做一做2-2】 函數(shù)f(x)=mx-1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________. 答案:1.(1)橫坐標(biāo) (2)f(x)=0 【做一做1-1】 B 【

5、做一做1-2】 C 2.連續(xù) 相反 f(a)·f(b) 一個(gè) 【做一做2-1】 C 利用零點(diǎn)存在的判定條件,判斷零點(diǎn)存在的區(qū)間.由于f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0,根據(jù)選項(xiàng),只有區(qū)間(1,2)滿足. 【做一做2-2】 (1,+∞) 由f(0)·f(1)<0得(-1)·(m-1)<0.∴m>1. 函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎? 剖析:函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn),因此函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程f(x)=0的解,即函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù).當(dāng)函數(shù)的自變量取這一實(shí)數(shù)時(shí),其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為零.方程f(x)=0解的

6、個(gè)數(shù)等于函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 函數(shù)f(x)=x+1,當(dāng)f(x)=x+1=0時(shí)僅有一個(gè)實(shí)根x=-1,所以函數(shù)f(x)=x+1有一個(gè)零點(diǎn)-1.由此可見(jiàn)函數(shù)f(x)=x+1的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)-1,而不是一個(gè)點(diǎn)(-1,0). 題型一 求函數(shù)的零點(diǎn) 【例1】 判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=1+log3x; (3)f(x)=4x-16; (4)f(x)=. 分析:可通過(guò)解方程求得函數(shù)的零點(diǎn). 反思:求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí),先考慮解方程f(x)=0,方程f(x)=0無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn),方程f(x)=0有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)

7、. 本題(4)中解方程容易錯(cuò)寫成函數(shù)的零點(diǎn)是-6和2,其原因是沒(méi)有驗(yàn)根.避免出現(xiàn)此類錯(cuò)誤的方法是解分式方程、對(duì)數(shù)方程等要驗(yàn)根,保證方程有意義. 題型二 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【例2】 求函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 分析:思路一,借助函數(shù)f(x)的單調(diào)性確定;思路二,借助圖像確定. 反思:判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有: (1)解方程:當(dāng)能直接求解零點(diǎn)時(shí),就直接求出進(jìn)行判斷. (2)用定理:零點(diǎn)存在性定理. (3)利用圖像的交點(diǎn):有些題目可先畫出某兩個(gè)函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖像,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是f(x)-g(x)的零點(diǎn). 題型三 判斷函數(shù)零點(diǎn)所

8、在大致區(qū)間 【例3】 求證:方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)在區(qū)間(1,2)上. 分析:證明方程5x2-7x-1=0的兩根分別位于(-1,0)和(1,2)上,即證在(-1,0)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn). 反思:判斷函數(shù)f(x)是否在(x1,x2)上存在零點(diǎn),除驗(yàn)算f(x1)·f(x2)<0是否成立外,還需考察函數(shù)在(x1,x2)上是否連續(xù).若要判斷根的個(gè)數(shù),還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性. 題型四 由函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍 【例4】 若函數(shù)y=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 分析:由于函數(shù)y=ax2-x-1中x2前面的系數(shù)a不確定,故需分a

9、=0和a≠0兩種情況討論. 反思:解決本題時(shí)易忽略a=0的情形,因?yàn)轭}目中并沒(méi)有說(shuō)明所給函數(shù)是二次函數(shù). 題型五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 因函數(shù)的圖像不是連續(xù)不斷的而造成判斷錯(cuò)誤 【例5】 函數(shù)f(x)=x+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________. 錯(cuò)解:因?yàn)閒(-1)=-2,f(1)=2,且x<0時(shí),f(x)<0;x>0時(shí),f(x)>0,所以y=f(x)有一個(gè)零點(diǎn).故填1. 錯(cuò)因分析:函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的一切性質(zhì),分析函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)必須先求定義域.通過(guò)作圖可知函數(shù)f(x)=x+的圖像不是連續(xù)不斷的,因而零點(diǎn)存在性定理不能使用. 答案:【例1】 解:(1)令-8x2+7x+1=0,

10、解得x=-或x=1,所以函數(shù)的零點(diǎn)為-和1. (2)令1+log3x=0,則log3x=-1,解得x=, 所以函數(shù)的零點(diǎn)為. (3)令4x-16=0,則4x=42,解得x=2,所以函數(shù)的零點(diǎn)為2. (4)因?yàn)閒(x)==,令=0,解得x=-6, 所以函數(shù)的零點(diǎn)為-6. 【例2】 解法1:∵f(0)=1+0-2=-1<0, f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0, ∴f(x)=0在(0,2)上必定存在實(shí)根. 又顯然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個(gè)實(shí)根. 解法2:在同一坐標(biāo)系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)

11、的疊合圖像. 由圖像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn). 【例3】 解:設(shè)f(x)=5x2-7x-1,則f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0. 而二次函數(shù)f(x)=5x2-7x-1是連續(xù)的, 所以f(x)在(-1,0)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn), 即方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)在區(qū)間(1,2)上. 【例4】 解:(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)為y=-x-1,顯然該函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

12、(2)當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)y=ax2-x-1是二次函數(shù). 因?yàn)閥=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn), 所以關(guān)于x的方程ax2-x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, 所以Δ=0,即1+4a=0,解得a=-. 綜上所述,a的值為0或-. 【例5】 正解:函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}, 當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0;當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).故填0. 1 下列函數(shù)存在零點(diǎn)的是( ). A.y= B.y=log3x C.y=x2+x+1 D.y=3x 2 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線,且函數(shù)f

13、(x)在(-2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),則f(-2)·f(2)的值 ( ). A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能確定 3 函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是( ). A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 4 函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的零點(diǎn)所在區(qū)間為_(kāi)_______. 5 已知函數(shù)f(x)=2x-3x2.問(wèn)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]

14、內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)解?為什么? 答案:1.B 2.D 函數(shù)f(x)在(-2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),則可能f(-2)·f(2)<0,可能f(-2)·f(2)>0. 3.B f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(1,2). 4.(1,2) ∵f(0)=5>0,f(1)=1>0,f(2)=-9<0, ∴零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2). 5.分析:要判斷方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]上有沒(méi)有實(shí)數(shù)解,只需看f(-1),f(0)是否反號(hào)即可. 解:∵f(-1)=,f(0)=1>0, 又∵函數(shù)f(x)=2x-3x2的圖像是連續(xù)曲線, ∴f(x)在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有零點(diǎn),即f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

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