高中數(shù)學(xué) 綜合測(cè)試題1 新人教A版選修2-2（通用）

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1、高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測(cè)試題 一、選擇題 1．在數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，等式的左邊為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 2．已知三次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（　　） Ａ．或 Ｂ． Ｃ． Ｄ．以上皆不正確 答案：Ｃ 3．設(shè)，若，則的值分別為（　　） Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1 答案：Ｄ 4．已知拋物線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)，則拋物線(xiàn)方程為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 5．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足若，則的值為（　?。?

2、Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 6．已知是不相等的正數(shù)，，，則，的關(guān)系是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不確定 答案：Ｂ 7．復(fù)數(shù)不可能在（　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ａ 8．定義的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的（1），（2），（3），（4），那么，圖中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（　?。┑倪\(yùn)算的結(jié)果（ ?。? Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 答案：Ｂ 9．用反證法證明命題“，如果可被5整除，那么，至少有1個(gè)能被5整除．”則假設(shè)的內(nèi)容是（　?。?/p>

3、 Ａ．，都能被5整除 Ｂ．，都不能被5整除 Ｃ．不能被5整除 Ｄ．，有1個(gè)不能被5整除 答案：Ｂ 10．下列說(shuō)法正確的是（　?。? Ａ．函數(shù)有極大值，但無(wú)極小值 Ｂ．函數(shù)有極小值，但無(wú)極大值 Ｃ．函數(shù)既有極大值又有極小值 Ｄ．函數(shù)無(wú)極值 答案：Ｂ 11．對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)，，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。? Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｂ 12．設(shè)在上連續(xù)，則在上的平均值是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 二、填空題 13．若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則的值為　　　　　． 答案：4

4、 14．一同學(xué)在電腦中打出如下圖形（○表示空心圓，●表示實(shí)心圓） ○●○○●○○○●○○○○● 若將此若干個(gè)圓依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么前2020年圓中有實(shí)心圓的個(gè)數(shù)為　　　　?。? 答案：61 15．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為，則，的值分別為　　　　　　． 答案：2，3 16．由與直線(xiàn)所圍成圖形的面積為　　　　?。? 答案：9 三、解答題 17．設(shè)且，求的值．（先觀察時(shí)的值，歸納猜測(cè)的值．） 解：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，有， 而， ，． ． 當(dāng)時(shí)，有． 由以上可以猜測(cè)，當(dāng)時(shí)，可能有成立． 18．設(shè)關(guān)于的

5、方程， （1）若方程有實(shí)數(shù)根，求銳角和實(shí)數(shù)根； （2）證明：對(duì)任意，方程無(wú)純虛數(shù)根． 解：（1）設(shè)實(shí)數(shù)根為，則， 即． 由于，，那么 又， 得 （2）若有純虛數(shù)根，使， 即， 由，，那么 由于無(wú)實(shí)數(shù)解． 故對(duì)任意，方程無(wú)純虛數(shù)根． 19．設(shè)，點(diǎn)是函數(shù)與的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)． （1）用表示； （2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍． 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象都過(guò)點(diǎn)，所以，即． 因?yàn)?，所以? ，即，所以． 又因?yàn)樵邳c(diǎn)處有相同的切線(xiàn)， 所以，而，，所以． 將代入上式得． 因此． 故，，． （2），． 當(dāng)時(shí)，

6、函數(shù)單調(diào)遞減． 由，若，則； 若，則． 由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則或． 所以或． 又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上不是單調(diào)遞減的． 所以的取值范圍為． 20．下列命題是真命題，還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論．命題：若，且，則． 解：此命題是真命題． ，，，． 要證成立，只需證， 即證，也就是證， 即證． ，， 成立， 故原不等式成立． 21．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款量與利率的平方成正比，比例系數(shù)為，且知當(dāng)利率為0.012時(shí)，存款量為1.44億；又貸款的利率為時(shí)，銀行吸收的存款能全部放貸出去；若設(shè)存款的利率為，，則當(dāng)為多少時(shí)，銀行可獲得最大

7、收益？ 解：由題意，存款量，又當(dāng)利率為0.012時(shí)，存款量為1.44億，即時(shí)，；由，得，那么， 銀行應(yīng)支付的利息， 設(shè)銀行可獲收益為，則， 由于，，則，即，得或． 因?yàn)?，時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)遞增； 時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)遞減； 故當(dāng)時(shí)，有最大值，其值約為0.164億． 22．已知函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，． （1）求； （2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)，并予以證明． 解：（1）由，得， ， ． （2）猜想：， 證明：（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即； 那么，當(dāng)時(shí)，由， 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立； 由（1），（2）可知，對(duì)于一切自然數(shù)都成立．

8、 高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測(cè)試題 一、選擇題 1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 2．設(shè)復(fù)數(shù)，則滿(mǎn)足的大于1的正整數(shù)中，最小的是（　?。? Ａ．7 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2 答案：Ｂ 3．下列函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有切線(xiàn)的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 4．（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 5．編輯一個(gè)運(yùn)算程序：，則的輸出結(jié)果為（　　） Ａ．4008 Ｂ．4006 Ｃ．4012 Ｄ．4010 答案：Ｄ 6．如下圖為某旅游區(qū)各景點(diǎn)的分布

9、圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計(jì)算順著箭頭方向，從到有幾條不同的旅游路線(xiàn)可走（　?。? Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18 答案：Ｃ 7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（　?。? Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ｂ 8．在中，分別為邊所對(duì)的角，若成等差數(shù)列，則的范圍是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 9．設(shè)，則（　　） Ａ．共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)， Ｂ．共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)， Ｃ．共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)， Ｄ．共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)， 答案：Ｄ 10．若函數(shù)的極值點(diǎn)是，函數(shù)的極值點(diǎn)

10、是，則有（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．與的大小不確定 答案：Ａ 11．已知函數(shù)，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍 是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 12．如圖，陰影部分的面積是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 二、填空題 13．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于　　　　　． 答案：0 14．若函數(shù)在區(qū)中上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　． 答案：－ 15．類(lèi)比等比數(shù)列的定義，我們可以給出“等積數(shù)列”的定義：　　　　?。? 答案：對(duì)，若（是常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為等積數(shù)列；

11、16．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是20，則實(shí)數(shù)的值等于 　　　?。? 答案： 三、解答題 17．已知拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求函數(shù)的最值． 解：由于，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)在點(diǎn)）處的切線(xiàn)的斜率為，因?yàn)榍芯€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，得．因?yàn)椋谑呛瘮?shù)沒(méi)有最值，當(dāng)時(shí)，有最小值． 18．已知數(shù)列滿(mǎn)足條件，，令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 解：在中，令，得；令，得；令，得２，所以． 將代入中，得，． 由此猜想：．以下用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確． （1）當(dāng)和時(shí)，結(jié)論成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，所以，由已知有，因?yàn)椋?，于是，所以?dāng)時(shí)，結(jié)論也

12、成立，根據(jù)和，對(duì)任意，均有． 19．已知數(shù)列1，11，111，1111，，，，寫(xiě)出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用反證法證明該數(shù)列中每一項(xiàng)都不是完全平方數(shù)． 解：由于，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是； 證明：假設(shè)是一個(gè)完全平方數(shù)，由于是一個(gè)奇數(shù)，所以它必須是一個(gè)奇數(shù)的平方，不妨設(shè)（為整數(shù)），于是．故此式中左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，自相矛盾，所以不是一個(gè)完全平方數(shù)． 20．已知，，復(fù)數(shù)的虛部減去它的實(shí)部所得的差為，求實(shí)數(shù)． 解：． ； ，解得． 又因?yàn)?，故? 21．已知函數(shù)． （1）若，求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間； （2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范

13、圍． 解：（1）當(dāng)時(shí)，，， 則， 由于，而，所以，因此由，可得，即，于是，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； （2）． 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)是上是單調(diào)減函數(shù)，所以在上恒成立，而由于，所以，因此只要在上恒成立，即恒成立． 又，所以應(yīng)有． 22．如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從孔流入，經(jīng)沉淀后從孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)為米，高為米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與，的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)當(dāng)，各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ǎ椎拿娣e忽略不計(jì)）． 解：設(shè)為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則， 其中為比例系數(shù)，依題意，即所求的，值使值最小，根據(jù)題設(shè)，有得． 于是． 當(dāng)時(shí)，或（舍去）． 本題只有一個(gè)極值點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，， 即當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。?