《高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程(第2課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程(第2課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、1.2 利用二分法求方程的近似解
1.根據(jù)具體函數(shù)的圖像,借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解.
2.學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過程和方法.
1.二分法的概念
對(duì)于圖像在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),每次取區(qū)間的_________,將區(qū)間___________,再經(jīng)比較,按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱為二分法.
二分就是平均分成兩部分.二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn).
【做一做】 已知函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2,
2、f(1)·f(2)<0,用二分法逐次計(jì)算時(shí),若x0是[1,2]的中點(diǎn),則f(x0)=________.
2.用二分法求方程的近似解的過程
過程如圖所示.
在圖中:
“初始區(qū)間”是一個(gè)兩端函數(shù)值________號(hào)的區(qū)間;
“M”的含義是:取新區(qū)間,一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的____________,另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè),新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào);
“N”的含義是:方程解滿足要求的________.
“P”的含義是:選取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程的近似解.
在二分法求方程解的步驟中,初始區(qū)間的選定,往往需要通過分析函數(shù)的____和___________.初始區(qū)間可以選得不同,
3、不影響最終計(jì)算結(jié)果.
函數(shù)連續(xù)值兩端,相乘為負(fù)有零點(diǎn),
區(qū)間之內(nèi)有一數(shù),方程成立很顯然.
要求方程近似解,先看零點(diǎn)的區(qū)間,
每次區(qū)間分為二,分后兩端近零點(diǎn).
答案:1.中點(diǎn) 一分為二
【做一做】 0.625
2.中點(diǎn) 零 反 中點(diǎn) 精度 性質(zhì) 試驗(yàn)估計(jì)
用二分法求方程的近似解需注意什么?
剖析:用二分法求方程的近似解要注意的問題:
(1)要看清題目要求的精度,它決定著二分法步驟的結(jié)束.
(2)初始區(qū)間的選定一般在兩個(gè)整數(shù)間,不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的,但二分的次數(shù)卻相差較大.
(3)用二分法求出的零點(diǎn)一般是零點(diǎn)的近似值,但并不是所有函數(shù)都可以用二分法求零點(diǎn),
4、必須滿足在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0這樣條件的函數(shù)才能用二分法求得零點(diǎn)的近似值.
題型一 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)
【例1】 函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x-6在區(qū)間[-2,4]上的零點(diǎn)必定在( ).
A.[-2,1]內(nèi) B.[,4]內(nèi) C.[1,]內(nèi) D.[,]內(nèi)
分析:按二分法的順序是計(jì)算f(1),f()等進(jìn)行,但數(shù)據(jù)計(jì)算較麻煩,[-2,4]內(nèi)的整數(shù)較多,選易計(jì)算的整數(shù)求解.
反思:用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn),是取中點(diǎn)求函數(shù)值,看符號(hào),確定新區(qū)間,再取中點(diǎn)求函數(shù)值等依次進(jìn)行下去.
有時(shí)從計(jì)算速度上考慮,首先把整數(shù)代入計(jì)算
5、會(huì)更快一些,如f(0),f(±1),….
題型二 求方程的近似解
【例2】 求方程lgx-2-x+1=0的近似解(精度為0.1).
分析:先確定f(x)=lgx-2-x+1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間,再用二分法求解.
反思:求方程近似解的步驟:(1)構(gòu)造函數(shù),利用圖像或單調(diào)性確定方程解所在的大致區(qū)間,通常限制在區(qū)間(n,n+1),n∈Z;(2)利用二分法求出滿足精度的方程解所在的區(qū)間M;(3)寫出方程的近似解.
題型三 用二分法證明方程根的分布
【例3】 已知函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,證明a>0,并利用二分法證明方程f(x)=0在[0
6、,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
分析:∵f(0)>0,f(1)>0,
∴只需在[0,1]內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值小于零即可.
反思:根據(jù)二分法,若f<0不成立,可計(jì)算f是否為負(fù),若還不成立,再計(jì)算f是否為負(fù),總之,在區(qū)間[0,1]內(nèi)找到一個(gè)分點(diǎn),使對(duì)應(yīng)函數(shù)值為負(fù)即可.
題型四 二分法的實(shí)際應(yīng)用
【例4】 在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里,從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障.這是一條10 km長的線路,如何迅速查出故障所在?如果沿著線路一小段一小段地查找,困難很多,每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿,10 km長,大約有200多根電線桿呢.想一想,維修線路的工人師傅怎樣工作最合理?
分析:先檢查中間一根電線桿
7、,則將故障的范圍縮小一半,再用同樣方法依次檢查下去.
反思:這種檢查線路故障的方法,就是二分法的應(yīng)用.二分法不僅可用于查找線路、水管、氣管故障,還可用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢,也是求根的常用方法.
答案:【例1】 D 解:f(0)=-6<0,f(1)=-4<0,f(2)=0,
故2為一零點(diǎn)在(1,3)內(nèi),只有D選項(xiàng)滿足.
【例2】 解:令f(x)=lgx-2-x+1,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)(證明略),所以f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).
又因?yàn)閒(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933 032 992<0,
所以方程在[0.1
8、,1]內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解.
使用二分法求解,如下表:
次數(shù)
左端點(diǎn)
左端點(diǎn)函數(shù)值
右端點(diǎn)
右端點(diǎn)函數(shù)值
第1次
0.1
-0.933 032 992
1
0.5
第2次
0.1
-0.933 032 992
0.55
0.057 342 561
第3次
0.325
-0.286 415 025
0.55
0.057 342 561
第4次
0.437 5
-0.097 435 016
0.55
0.057 342 561
第5次
0.493 75
-0.016 669 624
0.55
0.057 342 561
由于區(qū)間[0.4
9、93 75,0.55]的區(qū)間長度為0.056 25,它小于0.1,因此,我們可以選取這一區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程lg x-2-x+1=0的近似解.例如,選取0.5作為方程lg x-2-x+1=0的一個(gè)近似解.
【例3】 解:∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,
∴-b-2c>0,則-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴c>0,則a>0.
在[0,1]內(nèi)選取二等分點(diǎn),
則f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,
∴f(x)在區(qū)間[0,]和[,1]內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn).又二次方程f(x
10、)=0最多有兩個(gè)實(shí)根,
∴方程f(x)=0在[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
【例4】 解:如圖,他首先從中點(diǎn)C查.用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時(shí),發(fā)現(xiàn)AC段正常,斷定故障在BC段,再到BC段中點(diǎn)D,這次發(fā)現(xiàn)BD段正常,可見故障在CD段,再到CD段中點(diǎn)去查.
每查一次,可以把待查的線路長度縮減一半,要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50 m至100 m,即一兩根電線桿附近,只要檢查7次就夠了.
1 下列圖像與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是( ).
2 下列函數(shù)中,必須用二分法求其零點(diǎn)的是( ).
A.y=x+7
11、 B.y=5x-1
C.y=log3x D.y=
3 用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上的零點(diǎn),驗(yàn)證f(2)·f(4)<0.給定精度ε=0.01,取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn) x1=,計(jì)算得f(2)·f(x1)<0,則此時(shí)零點(diǎn)x0∈__________.(填區(qū)間)
4 用二分法研究函數(shù)f(x)=x3+3x-1的零點(diǎn)時(shí),第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈__________,第二次應(yīng)計(jì)算__________,這時(shí)可判斷x0∈__________.
5 求方程ln
12、 x+x-3=0在(2,3)內(nèi)的近似解.(精確到0.1)
答案:1.A
2.D D選項(xiàng)中無法解方程,則必須用二分法求零點(diǎn).
3.(2,3) ∵f(2)·f(3)<0,∴x0∈(2,3).
4.(0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5) 由二分法知x0∈(0,0.5),取x1=0.25,這時(shí)f(0.25)=0.253+3×0.25-1<0,
故x0∈(0.25,0.5).
5.分析:借助于計(jì)算器,利用二分法求解.
解:令f(x)=lnx+x-3,即求函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)的零點(diǎn).
因?yàn)閒(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,即(2,3)作為初始區(qū)間,用二
13、分法列表如下:
次數(shù)
左端點(diǎn)
左端點(diǎn)函數(shù)值
右端點(diǎn)
右端點(diǎn)函數(shù)值
第1次
2
-0.306 85
3
1.098 61
第2次
2
-0.306 85
2.5
0.416 29
第3次
2
-0.306 85
2.25
0.060 93
第4次
2.125
-0.121 23
2.25
0.060 93
第5次
2.187 5
-0.029 74
2.25
0.060 93
第6次
2.187 5
-0.029 74
2.218 75
0.015 69
由于區(qū)間(2.187 5,2.218 75)內(nèi)所有值精確到0.1,都是2.2,所以方程的近似解是2.2.