《高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第3節(jié) 集合的基本運算(第2課時)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第3節(jié) 集合的基本運算(第2課時)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.2 全集與補集
1.了解全集、補集的概念,以及它們的表示方法.
2.在已知全集的情況下,會求它的某一子集的補集.
3.能進行集合的交集、并集和補集的綜合運算.
1.全集
(1)定義:一般地,如果一個集合含有我們所要研究的集合的全部________,那么就稱這個集合為全集.
(2)符號表示:全集通常記作____________.
(3)圖示:用Venn圖表示全集U,如圖所示.
2.補集
(1)定義:設(shè)U是全集,A是U的一個子集(即AU),則由U中____________的元素組成的集合,叫作U中子集A的補集(或余集).
(2)符號表示:U中子集A的補集記作,即
2、=____________.
A∩()=,A∪()=U,()=A,U=,=U,(A∩B)=()∪(),(A∪B)=()∩().
(3)圖示:用Venn圖表示,如圖所示.
集合平時很常用,數(shù)學(xué)概念有不同;
理解集合并不難,三條性質(zhì)是關(guān)鍵;
元素確定和互異,還有無序要牢記;
集合不論空不空,總有子集在其中;
集合用圖很方便,子交并補很明顯.
【做一做1-1】 設(shè)全集U={小于10的自然數(shù)},集合
A={小于10的正偶數(shù)},B={小于10的正質(zhì)數(shù)},求,.
【做一做1-2】 已知集合U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={4,5},則A∩()=_
3、_________.
答案:1.(1)元素 (2)U
2.(1)所有不屬于A (2){x|x∈U,且xA}
【做一做1-1】 解:U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
A={2,4,6,8},B={2,3,5,7}.
∴={0,1,3,5,7,9},={0,1,4,6,8,9}.
【做一做1-2】 {2,3} 由題意知={1,2,3}.
又A={2,3,4},
所以A∩()={2,3}.
1.為什么AC與BC不一定相等?
剖析:依據(jù)補集的含義,符號AC和BC都表示集合C的補集,但是AC表示集合C在全集A中的補集,而BC表示集合C在全集B中的補集,由于集合
4、A和B不一定相等,所以AC與?BC不一定相等.因此,求集合的補集時,首先要明確全集,否則容易出錯.
如集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,1,2,3,4},C={1,3,4},則AC={2,5,6,7,8,9},BC={0,2},很明顯AC≠BC.
2.全集一定包含任何元素嗎?集合A和集合A的補集會有公共元素嗎?
剖析:全集僅是包含我們所研究問題所涉及的全部元素,而非任何元素;集合A和A的補集無公共元素,因為補集的定義即為A以外的元素組成的集合.
題型一 求補集的簡單運算
【例1】 已知A={0,1,2},={-3,-2,-1},={-3,-2,0},用列舉
5、法寫出集合B.
分析:先結(jié)合條件,利用補集性質(zhì)求出全集U,再由補集定義求集合B.
反思:在進行補集的簡單運算時,應(yīng)首先明確全集,而利用A∪=U求全集U是利用定義解題的常規(guī)性思維模式,故進行補集運算時,要緊扣補集定義及補集的性質(zhì)來解題.
題型二 交、并、補的綜合運算
【例2】 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3},求,A∩B,(A∩B),()∩B.
分析:由于U,A,B均為無限集,所求問題是集合間的交、并、補運算,故考慮借助數(shù)軸求解.
反思:求解與不等式表示的數(shù)集間的集合運算時,一般要借助于數(shù)軸求解,此方法的特點是簡單直觀,同時要注意各個
6、端點的畫法及取到與否.
題型三 Venn圖在解題中的應(yīng)用
【例3】 設(shè)全集U={x|x≤20的質(zhì)數(shù)},A∩()={3,5},()∩B={7,19},()∩()={2,17},求集合A,B.
分析:利用列舉法可求得集合U,然后利用Venn圖處理.
反思:有些集合問題比較抽象,解題時若借助Venn圖進行分析或利用數(shù)軸、圖像采取數(shù)形結(jié)合的思想方法,往往可將問題直觀化、形象化.本題在確定11,13的歸屬問題時,結(jié)合Venn圖可把全集U劃分為如下四部分,全集U中的任一元素必在且只在下圖的四部分之一中,由題意可知11,13不在前三部分內(nèi),必然在A∩B內(nèi).
A∩() B∩(
7、)
()∩() A∩B
或(A∪B)
題型四 補集的綜合應(yīng)用
【例4】 已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A?RB,求a的取值范圍.
分析:→→
反思:解答本題的關(guān)鍵是利用A?RB,對A=與A≠進行分類討論,轉(zhuǎn)化為等價不等式(組)求解,同時要注意區(qū)域端點的問題.
答案:【例1】 解:∵A={0,1,2},={-3,-2,-1},
∴U=A∪={-3,-2,-1,0,1,2}.
又∵={-3,-2,0},∴B={-1,1,2}.
【例2】 解:把全集U和集合A,B在數(shù)軸
8、上表示如圖所示.
由圖可知
={x|x≤-2或3≤x≤4},
A∩B={x|-2<x<3},
U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4},
()∩B={x|-3<x≤-2或x=3}.
【例3】 解:因為U={2,3,5,7,11,13,17,19},由題意畫出Venn圖,如圖所示,故集合A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
【例4】 解:RB={x|x≤1或x≥2}≠,∵A,
∴分A=和A≠兩種情況討論.
(1)若A=,此時有2a-2≥a,∴a≥2.
(2)若A≠,則有或
∴a≤1.
綜上所述,a≤1或a≥2.
1 設(shè)集合U={x∈N
9、|0<x≤8},S={1,2,4,5},T={3,5,7},則S∩()等于( ).
A.{1,2,4} B.{1,2,3,4,5,7}
C.{1,2} D.{1,2,4,5,6,8}
2 已知集合U=R,B={x|x>2},則等于( ).
A.{x|x>2} B.{x|x≥2}
C.{x|x<2}
10、 D.{x|x≤2}
3 已知全集U={1,2,3,4,5},M={1,2},N={2,5},則如圖陰影部分表示的集合是( ).
A.{3,4,5} B.{1,3,4}
C.{1,2,5} D.{3,4}
4 已知全集U={-1,0,1,2,3},集合M={x|x為不大于3的自然數(shù)},則M=__________.
5 已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},={2,4,6,8},={1,4,6,8,9},求集合B.
答案:1.A U={1,2,3,4,5,6,7,8},則有UT={1,2,4,6,8},
∴S∩(UT)={1,2,4}.
2.D
3.D 陰影部分是U(M∪N)={3,4}.
4.{-1} ∵M={0,1,2,3},∴UM={-1}.
5.分析:利用A∪()=U求解.
解:U=A∪()={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
∵={1,4,6,8,9},
∴B=U()={2,3,5,7}.