《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第4節(jié) 對數(shù)(第1課時(shí))基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第4節(jié) 對數(shù)(第1課時(shí))基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、4.1 對數(shù)及其運(yùn)算
1.理解并掌握對數(shù)的概念,并能熟練進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化.
2.掌握對數(shù)運(yùn)算性質(zhì),并能運(yùn)用其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值和證明.
3.能利用對數(shù)知識用字母表示對數(shù),解對數(shù)方程.
1.對數(shù)
(1)定義:一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么數(shù)____叫作以a為底N的對數(shù),記作____=b.其中a叫作對數(shù)的______,N叫作______.logaN讀作以a為底N的對數(shù).
對數(shù)式logaN=b可看作一種記號,表示關(guān)于b的方程ab=N(a>0,a≠1)的解;也可以看作一種運(yùn)算,即已知底為a(a>0,a≠1),冪為N,
2、求冪指數(shù)的運(yùn)算,因此,對數(shù)式logaN=b又可看作冪運(yùn)算的逆運(yùn)算.
(2)特殊對數(shù):通常將以____為底的對數(shù)叫作常用對數(shù),并把log10N簡記作______;在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.718 28…為底數(shù)的對數(shù),以____為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并把logeN簡記作______.
(3)常見結(jié)論:負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù);loga1=______;logaa=______;alogaN=______.
【做一做1-1】 3b=5化為對數(shù)式是( ).
A.logb3=5 B.log35=b
C.log5b=3
3、 D.log53=b
【做一做1-2】 log117=x化為指數(shù)式是( ).
A.7x=11 B.11x=7
C.x7=11 D.x11=7
2.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,則:
(1)loga(MN)=________;(2)logaMn=________(n∈R);(3)loga=__________.
注意:loga(MN)≠(logaM)(logaN),
loga(M+N)
4、≠logaM+logaN,loga≠.
積的對數(shù)變加法,商的對數(shù)變減法,
冪的乘方取對數(shù),要把指數(shù)提到前.
【做一做2】 若a>0,a≠1,x>y>0,下列式子中正確的個(gè)數(shù)是( ).
①logax·logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y);③loga=logax÷logay;④loga(xy)=logax·logay.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:1.(1)b logaN 底數(shù) 真數(shù) (2)10 lg N e lnN
(3)0 1 N
【做一
5、做1-1】 B
【做一做1-2】 B
2.(1)logaM+logaN (2)nlogaM (3)logaM-logaN
【做一做2】 A
1.如何理解對數(shù)的概念及性質(zhì)?
剖析:由于ab=Nb=logaN,故借助指數(shù)來分析理解對數(shù)的概念及性質(zhì).
(1)對數(shù)式logaN=b是由指數(shù)式ab=N變換而來的,兩式底數(shù)相同,對數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值N,而對數(shù)值b是指數(shù)式中的冪指數(shù).對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系如圖所示.
在指數(shù)式ab=N中,若已知a,N求冪指數(shù)b,便是對數(shù)運(yùn)算b=logaN.
(2)對數(shù)記號logaN只有在a>0,a≠1,N>0時(shí)才有意義.
因?yàn)樵赼
6、b=N中,a>0,a≠1,所以在logaN中,a>0,a≠1.
又因?yàn)檎龜?shù)的任何次冪都是正數(shù),即ab>0(a>0),故N=ab>0.
(3)并不是所有的指數(shù)式都能直接改寫成對數(shù)式,如(-2)2=4不能寫成log-24=2,只有在a>0,a≠1,N>0時(shí),才有ab=Nb=logaN.
2.如何正確運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則?
剖析:(1)在運(yùn)算過程中避免出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:
loga(MN)=logaM·logaN.
loga=.
logaNn=(logaN)n.
logaM±logaN=loga(M±N).
(2)注意前提條件:a>0,a≠1,M>0,N>0,尤其是M,N都是正數(shù)這一條件,
7、否則M,N中有一個(gè)小于或等于0,就導(dǎo)致logaM或logaN無意義,另外還要注意,M>0,N>0與M·N>0并不等價(jià).
(3)要注意對數(shù)運(yùn)算法則的逆用.
題型一 指數(shù)式與對數(shù)式的互化
【例1】 (1)將對數(shù)式=-3化為指數(shù)式;
(2)將指數(shù)式-2=16化為對數(shù)式;
(3)求式子log2(log5x)=0中的x.
分析:利用ab=Nb=logaN.
反思:對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù),而對數(shù)形式與指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.
題型二 化簡、求值
【例2】 計(jì)算下列各式的值:
(1)log2+log212-log242;
(2)lg 52+lg 8
8、+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
分析:利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
反思:對于同底的對數(shù)的化簡,常用方法是:
(1)“收”,將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù),如本題(1);
(2)“拆”,將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差),如本題(2).
題型三 對數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用
【例3】 求下列各式中x的值.
(1)log2(log4x)=0;
(2)log3(lg x)=1;
(3) =x.
分析:解答本題可利用對數(shù)的基本性質(zhì)及對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系求解.
反思:1.對數(shù)的性質(zhì):
(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).
(2)設(shè)a>0,a≠1,則有a0=1.所以loga1=
9、0.即1的對數(shù)等于0.
(3)設(shè)a>0,a≠1,則有a1=a,所以logaa=1,即底數(shù)的對數(shù)為1.
2.利用“底數(shù)”和“1”的對數(shù)的值為“1”和“0”,有利于化簡和計(jì)算.
題型四 用已知對數(shù)表示其他對數(shù)
【例4】 用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)loga;(2)loga.
分析:應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決.
反思:用已知對數(shù)表示其他對數(shù)時(shí),關(guān)鍵是應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì),將真數(shù)“拆”成已知對數(shù)的真數(shù)形式.
題型五 易錯(cuò)辨析
易錯(cuò)點(diǎn) 忽略真數(shù)大于0導(dǎo)致出錯(cuò)
【例5】 已知lg x+lg y=2lg(x-2y),求的值.
錯(cuò)解:因?yàn)閘g x+lg y=2lg
10、(x-2y),
所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0.
所以(x-y)(x-4y)=0,解得x=y(tǒng)或x=4y.
則=1或=4,所以==0或==4.
錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中忽略了lg x+lg y=2lg(x-2y)成立的前提是即x>2y>0,在求出x,y的關(guān)系后未檢驗(yàn)是否滿足前提條件,從而導(dǎo)致產(chǎn)生增根.
答案:【例1】 解:(1)因?yàn)椋剑?,所以-3=27.
(2)因?yàn)椋?=16,所以=-2.
(3)因?yàn)閘og2(log5x)=0,
所以log5x=1,則x=51=5.
【例2】 解:(1)原式=log2=log2=-.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+l
11、g 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)
=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
【例3】 解:(1)∵log2(log4x)=0,∴l(xiāng)og4x=20=1.
∴x=41=4.
(2)∵log3(lg x)=1,∴l(xiāng)g x=31=3.
∴x=103=1 000.
(3)∵=x,
∴(-1)x=
==
=-1.∴x=1.
【例4】 解:(1)loga =loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz;
(2)loga =loga(x2 )-loga =logax2+loga -loga
12、=2logax+logay-logaz.
【例5】 正解:因?yàn)閘g x+lg y=2lg(x-2y),
所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0.
所以(x-y)(x-4y)=0,解得x=y(tǒng)或x=4y.
因?yàn)閤>0,y>0,x-2y>0,所以x=y(tǒng)應(yīng)舍去.
則=4,所以
1 (2020長春高一期末)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是( ).
A.e0=1與ln 1=0
B.與
C.log39=2與=3
D.log77=1與71=7
2 在b=log2(5-a)中,實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).
A.a(chǎn)>5 B.a(chǎn)>0
13、 C.a(chǎn)<5 D.R
3 (2020浙江臺州高一期末)log2的值是( ).
A. B. C. D.
4 若log3=0,則x=__________.
5 已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式:
(1)log20.6;(2)log2;(3)log2.
答案:1.C 選項(xiàng)C中,log39=2的指數(shù)式為32=9.
2.C 由對數(shù)的定義,知5-a>0a<5.
3.D log2=.
4.-4 由題意得=1,解得x=-4,經(jīng)檢驗(yàn)x=-4是原方程的根.
5.解:(1)log20.6=log2 =log23-log25=a-b.
(2)log2 log2(3×5×2)=(log23+log25+log22)=(a+b+1).
(3)log2=-log2125=log23-3log25=a-3b.