2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破2 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 理
《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破2 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破2 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 理(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、題2 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1.(2020·天津)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是( ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 答案:B [由f(-1)=-3<0,f(0)=1>0及零點(diǎn)定理,知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)上.] 2.(2020·湖北)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ). A.4 B.5 C.6 D.7 答案:C [令xcos x2=0,則x=0,或x2=kπ+,又x∈[0,4],因此xk=
2、(k=0,1,2,3,4),共有6個(gè)零點(diǎn).] 3.(2020·北京)函數(shù)f(x)=x-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B [因?yàn)閥=x在x∈[0,+∞)上單調(diào)遞增,y=x在x∈R上單調(diào)遞減,所以f(x)=x-x在x∈[0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以f(x)=x-x在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn),選B.] 4.(2020·山東)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為________萬(wàn)件. 解析 ∵y=f(x)=-x3+
3、81x-234,∴y′=-x2+81. 令y′=0,得x=9,x=-9(舍去). 當(dāng)0<x<9時(shí),y′>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x>9時(shí),y′<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 故當(dāng)x=9時(shí),y取最大值. 答案 9 高考對(duì)本部分的考查有: (1)①確定函數(shù)零點(diǎn); ②確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù); ③根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)值或取值范圍. (2)函數(shù)簡(jiǎn)單性質(zhì)的綜合考查.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題. (3)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)綜合考查. 利用函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)的最值.題型既有選擇題、填空題,又有解答題,客觀題主要考查相應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì),主觀題考查較為綜合,在考查函數(shù)的零點(diǎn)、
4、方程根的基礎(chǔ)上,又注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法. 1.二次函數(shù)圖象是連接三個(gè)“二次”的紐帶,是理解和解決問(wèn)題的關(guān)鍵,應(yīng)認(rèn)真研究、熟練掌握. 2.關(guān)于零點(diǎn)問(wèn)題,要學(xué)會(huì)分析轉(zhuǎn)化,能夠把與之有關(guān)的不同形式的問(wèn)題,化歸為適當(dāng)方程的零點(diǎn)問(wèn)題. 3.函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,主要抓好常見(jiàn)函數(shù)模型的訓(xùn)練,重點(diǎn)放在信息整理與建模上. 必備知識(shí) 零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x
5、)=0的根. 注意以下兩點(diǎn): ①滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一; ②不滿足條件時(shí),也可能有零點(diǎn). 在處理二次函數(shù)問(wèn)題時(shí),要注意f(x)的幾種常見(jiàn)表達(dá)形式 (1)y=ax2+bx+c; (2)y=a(x-x1)(x-x2); (3)y=a(x-h(huán))2+k. 應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活選用上述表達(dá)式. 應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般程序 ??? 與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題,經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題,也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題.解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式,然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答. 必備方法 1.在求方程
6、解的個(gè)數(shù)或者根據(jù)解的個(gè)數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問(wèn)題時(shí),數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法,即把方程分拆為一個(gè)等式,使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式,然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)f(x),g(x),即把方程寫成f(x)=g(x)的形式,這時(shí)方程根的個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),可以根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系. 2.二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k(a≠0),x∈[p,q]的最值問(wèn)題實(shí)際上是研究函數(shù)在[p,q]上的單調(diào)性.常用方法:(1)注意是“軸動(dòng)區(qū)間定”,還是“軸定區(qū)間動(dòng)”,找出分類的標(biāo)準(zhǔn);(2)利用導(dǎo)數(shù)知識(shí),最值可以在端點(diǎn)和駐點(diǎn)處尋找. 3.f(x)≥0在[p,q]上恒成立
7、問(wèn)題,等價(jià)于f(x)min≥0,x∈[p,q]. ??疾椋孩俑鶕?jù)函數(shù)解析式判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間;②根據(jù)函數(shù)解析式求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.可采用零點(diǎn)判定定理、數(shù)形結(jié)合法求解,高考命題有加強(qiáng)的趨勢(shì),難度中檔偏下. 【例1】? (2020·陜西)函數(shù)f(x)=-cos x在[0,+∞)內(nèi)( ). A.沒(méi)有零點(diǎn) B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn) C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D.有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn) [審題視點(diǎn)] [聽課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷y=與y=cos x的交點(diǎn)個(gè)數(shù). B [ 在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=和y=co
8、s x的圖象,如圖,由于x>1時(shí),y=>1,y=cos x≤1,所以兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn),即方程-cos x=0在[0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)根,所以f(x)=-cos x在[0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).] 確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法: ①解方程判定法,若方程易求解時(shí)用此法; ②零點(diǎn)存在的判定定理法,常常要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí); ③數(shù)形結(jié)合法,在研究函數(shù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)的問(wèn)題時(shí),當(dāng)從正面求解難以入手,可以轉(zhuǎn)化為某一易入手的等價(jià)問(wèn)題求解,如求解含有絕對(duì)值、分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角式等較復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題求解. 【突破訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)
9、數(shù)為( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C [當(dāng)x≤0時(shí),令x2+2x-3=0,解得x=-3;當(dāng)x>0時(shí),令-2+ln x=0,解得x=e2.所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),選C.] 函數(shù)思想在高考中并不單獨(dú)考查,而往往與導(dǎo)數(shù)結(jié)合命制壓軸性大題,試題圍繞二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系展開,解題的關(guān)鍵是從判別式、韋達(dá)定理、對(duì)稱軸、開口方向等方面去考慮結(jié)論成立的所有條件,難度較大. 【例2】? 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c. (1)若a>b>c,且a+b+c=0,試證明f(x)
10、=0必有兩個(gè)實(shí)根; (2)若對(duì)x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),試證明方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有兩不等實(shí)根,且必有一個(gè)實(shí)根屬于(x1,x2). [審題視點(diǎn)] [聽課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)將已知條件b=-(a+c)代入f(x)=0后,再對(duì)f(x)=0分解因式求根.(2)利用函數(shù)與方程的思想構(gòu)造函數(shù)f(x)-[f(x1)+f(x2)],利用函數(shù)零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)在(x1,x2)有一零點(diǎn). 證明 (1)若a>b>c,a+b+c=0, 則a>0,c<0,且b=-(a+c), 所以方程f(x)=0可化為ax2-(a+c)x+c=0, 即
11、a(x-1)=0, 則f(x)=0有兩根x1=1,x2=. (2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)], g(x1)=[f(x1)-f(x2)],g(x2)=[f(x2)-f(x1)], 且x1<x2,f(x1)≠f(x2), 所以g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2<0, 即函數(shù)g(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)有零點(diǎn),則方程g(x)=0有一實(shí)根屬于(x1,x2),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知必有另一實(shí)根. 二次函數(shù)問(wèn)題通常利用二次方程、二次不等式之間的關(guān)系來(lái)處理,從而使方程問(wèn)題函數(shù)化,函數(shù)問(wèn)題方程化,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想. 【突破訓(xùn)練2】 已知a是實(shí)數(shù),
12、函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2x-3, 其零點(diǎn)x=不在區(qū)間[-1,1]上. 當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]分為兩種情況: ①函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上只有一個(gè)零點(diǎn), 此時(shí)或 解得1≤a≤5或a=-. ②函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí) 或 解得a≥5或a<-. 綜上所述,如果函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn), 那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪[1,+∞). 函數(shù)綜合題的求解往往運(yùn)用多種知識(shí)和技能.因此,必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí),并且嚴(yán)謹(jǐn)審題,弄清題目的
13、已知條件,尤其要挖掘題目中的隱含條件.要認(rèn)真分析,處理好各種關(guān)系,把握問(wèn)題的主線,運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法將題目逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決. 【例3】? 已知二次函數(shù)y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,且y=g(x)在x=-1處取得極小值m-1(m≠0),設(shè)函數(shù)f(x)=. (1)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值; (2)當(dāng)k(k∈R)取何值時(shí),函數(shù)y=f(x)-kx存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn). [審題視點(diǎn)] [聽課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)利用已知條件用含m的式子表示f(x),再結(jié)合點(diǎn)P到點(diǎn)Q的最
14、值,利用基本不等式求m值. (2)將已知轉(zhuǎn)化為f(x)-kx=0,進(jìn)而求其根,需要根據(jù)解題對(duì)k,m分類討論. 解 (1)設(shè)g(x)=ax2+bx+c(a≠0),則g′(x)=2ax+b; 又y=g′(x)的圖象與直線y=2x平行, ∴2a=2,a=1,又g(x)在x=-1處取得極小值, ∴g′(-1)=0,b=2. ∴g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,∴c=m. f(x)==x++2,設(shè)P(x0,y0), 則|PQ|2=x+(y0-2)2=x+2 =2x++2m≥2+2m. ∴2+2m=2,∴m=-1或--1. (2)由y=f(x)-kx=(1-k)x++2=0
15、, 得(1-k)x2+2x+m=0. 當(dāng)k=1時(shí),方程(*)有一個(gè)解x=-, 故函數(shù)y=f(x)-kx有一個(gè)零點(diǎn)x=-,(*) 當(dāng)k≠1時(shí),方程(*)有兩解?Δ=4-4m(1-k)>0, 若m>0,則k>1-,函數(shù)y=f(x)-kx有兩個(gè)零點(diǎn) x==; 若m<0,則k<1-,故函數(shù)y=f(x)-kx有兩個(gè)零點(diǎn) x==; 當(dāng)k≠1時(shí),方程(*)有一解?Δ=4-4m(1-k)=0, k=1-,函數(shù)y=f(x)-kx有一個(gè)零點(diǎn)x=. 綜上:當(dāng)k=1時(shí),函數(shù)y=f(x)-kx有一個(gè)零點(diǎn)x=-; 當(dāng)k>1-(m>0),或k<1-(m<0)時(shí), 函數(shù)y=f(x)-kx有兩個(gè)零點(diǎn)x
16、=; 當(dāng)k=1-時(shí),函數(shù)y=f(x)-kx有一個(gè)零點(diǎn)x=. 此題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、最值、一元二次方程等基礎(chǔ)知識(shí),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法,體現(xiàn)了函數(shù)與方程,分類與整體的數(shù)學(xué)思想方法. 【突破訓(xùn)練3】 (2020·北京)已知函數(shù)f(x)= 若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 解析 作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,由圖象可知,當(dāng)0<k<1時(shí),函數(shù)f(x)與y=k的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,1). 答案 (0,1) 該類試題以實(shí)際生活為背景,通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)和整合命制,試題常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)
17、最值、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯,多以求最值為高考考向.這類題目對(duì)學(xué)生的閱讀、審題能力、建模能力提出了較高的要求.
【例4】? (2020·湖南)如圖,長(zhǎng)方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng),速度為v(v>0),雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(c∈R).E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:①P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|×S成正比,比例系數(shù)為;②其他面的淋雨量之和,其值為.記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量.當(dāng)移動(dòng)距離d=100,面積S=時(shí).
(1)寫出y的表達(dá)式;
(2)設(shè)0 18、,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動(dòng)速度v,使總淋雨量y最少.
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄](méi)
[審題視點(diǎn)] 先求E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量(分兩部分:一是P或P的平行面;二是其他面的淋雨量之和).再分0<v≤c或c<v≤10兩種情況,利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
解 (1)由題意知,E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為|v-c|+,故y==(3|v-c|+10).
(2)由(1)知,當(dāng)0<v≤c時(shí),y=(3c-3v+10)=-15;當(dāng)c<v≤10時(shí),y=(3v-3c+10)=+15.
故y=
①當(dāng)0<c≤時(shí),y是關(guān)于v的減函數(shù),故當(dāng)v=10時(shí),ymin=20-.
②當(dāng)<c≤5時(shí),在(0 19、,c]上y是關(guān)于v的減函數(shù);在(c,10]上,y是關(guān)于v的增函數(shù),故當(dāng)v=c時(shí),ymin=.
(1)關(guān)于解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,首先要在閱讀上下功夫,一般情況下,應(yīng)用題文字?jǐn)⑹霰容^長(zhǎng),要耐心、細(xì)心地審清題意,弄清各量之間的關(guān)系,再建立函數(shù)關(guān)系式,然后借助函數(shù)的知識(shí)求解,解答后再回到實(shí)際問(wèn)題中去.
(2)對(duì)函數(shù)模型求最值的常用方法:?jiǎn)握{(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法.
【突破訓(xùn)練4】 (2020·東北三校二模)已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元,且R(x)=
(1 20、)寫出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大.(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本)
解 (1)當(dāng)0<x≤10時(shí),W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10;
當(dāng)x>10時(shí),W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,
∴W=
(2)①當(dāng)0<x≤10時(shí),由W′=8.1-=0,得x=9.
當(dāng)x∈(0,9)時(shí),W′>0;當(dāng)x∈(9,10]時(shí),W′<0,
∴當(dāng)x=9時(shí),W取得最大值,
即Wmax=8.1×9-×93-10=38.6.
②當(dāng)x>10時(shí),W=98-≤98-2 =38, 21、
當(dāng)且僅當(dāng)=2.7 x,即x=時(shí),W取得最大值38.
綜合①②知:當(dāng)x=9時(shí),W取得最大值38.6,
故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲的年利潤(rùn)最大.
利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)及單調(diào)性,而函數(shù)的單調(diào)性往往與方程的解交匯命題.因此,可借助導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.
【示例】? (2020·福建)已知函數(shù)f(x)=axsin x-(a∈R),且在上的最大值為.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并加以證明.
[滿分解答] (1)由已知得f′(x)=a(sin x+x 22、cos x),
對(duì)于任意x∈,有sin x+xcos x>0.
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-,不合題意;
當(dāng)a<0時(shí),x∈時(shí),f′(x)<0,從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減,又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的,故f(x)在上的最大值為f(0)=-,不合題意;(4分)
當(dāng)a>0,x∈時(shí),f′(x)>0,從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的,故f(x)在上的最大值為f,即a-=,解得a=1.
綜上所述,得f(x)=xsin x-.(6分)
(2)f(x)在(0,π)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).證明如下:
由(1)知,f(x)=xsin x-,從而有f(0)=-<0,f=>0,又 23、f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的,
所以f(x)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).
又由(1)知f(x)在上單調(diào)遞增,故f(x)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(9分)
當(dāng)x∈時(shí),令g(x)=f′(x)=sin x+xcos x.
由g=1>0,g(π)=-π<0,且g(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的,故存在m∈,使得g(m)=0.
由g′(x)=2cos x-xsin x,知x∈時(shí),有g(shù)′(x)<0,
從而g(x)在內(nèi)單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈時(shí),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,
故當(dāng)x∈時(shí),f(x)≥f=>0,故f(x)在上無(wú)零點(diǎn);(12分)
當(dāng)x∈(m,π)時(shí), 24、有g(shù)(x)<g(m)=0,即f′(x)<0,從而f(x)在(m,π)內(nèi)單調(diào)遞減.
又f(m)>0,f(π)<0,且f(x)在[m,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,從而f(x)在(m,π)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,f(x)在(0,π)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).(14分)
老師叮嚀:本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值和函數(shù)零點(diǎn)的判斷.第(1)問(wèn)需對(duì)a分類討論,利用f′(x)的正負(fù)與f(x)單調(diào)性的關(guān)系求得結(jié)果.第(2)問(wèn)需要經(jīng)過(guò)二次求導(dǎo),原因是一次求導(dǎo)不能判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù),還需第二次求導(dǎo),再結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)存在情況.
【試一試】 已知函數(shù)f(x)=x3,g(x)= 25、x+.求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
解 由h(x)=x3-x-知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,且h(1)=-1<0,h(2)=6->0,則x=0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn),且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn).因此,h(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn).
法一 h′(x)=3x2-1-x-,記φ(x)=3x2-1-x-,則φ′(x)=6x+x-.
則x∈(0,+∞)時(shí),φ′(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則φ(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)棣?1)>0,φ<0,則φ(x)在內(nèi)有零點(diǎn).所以φ(x)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).記此零點(diǎn)為x1,則 26、當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),φ(x)<φ(x1)=0;當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),φ(x)>φ(x1)=0.
所以,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),h(x)單調(diào)遞減.而h(0)=0,則h(x)在(0,x1]內(nèi)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),h(x)單調(diào)遞增,則h(x)在(x1,+∞)內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn).
從而h(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,h(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
法二 由h(x)=x(x2-1-x-),記φ(x)=x2-1-x-,則φ′(x)=2x+x-.
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),φ′(x)>0,從而φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則φ(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn).因此h(x)在(0,+∞)內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,h(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
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