2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測試題十二 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù) 北師大版

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1、階段性測試題十二(算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分． 滿分150分．考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(文)(2020·遼寧文)i為虛數(shù)單位，＋＋＋＝(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．2i C．－2i D．4i [答案]　A [解析]　本題考查了復(fù)數(shù)的定義及其運(yùn)算，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，并考查了多種方法靈活處理問題的能力． 法1：∵i2＝1，∴i3＝－i，i5＝i，i7＝－i， ∴

2、原式＝＋＋＋＝0. 法2：把原式看成是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和即原式＝＝0. (理)(2020·遼寧理)a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，||＝2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 [答案]　B [解析]　本小題考查內(nèi)容為復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模的求法． ＝|1－ai|＝＝2，∴a＝. 2．(2020·大綱全國卷理)復(fù)數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z－z－1＝(　　) A．－2i B．－i C．i D．2i [答案]　B [解析]　本小題考查的內(nèi)容是復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算． ＝1－i，∴z·－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.

3、 3．(2020·新課標(biāo)理)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是(　　) A．120 B．720 C．1440 D．5040 [答案]　B [解析]　當(dāng)輸入的N是6時(shí)，由于k＝1，p＝1，因此p＝p·k＝1.此時(shí)k＝1，滿足k<6，故k＝k＋1＝2； 當(dāng)k＝2時(shí)，p＝1×2，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝3； 當(dāng)k＝3時(shí)，p＝1×2×3，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝4； 當(dāng)k＝4時(shí)，p＝1×2×3×4，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝5； 當(dāng)k＝5時(shí)，p＝1×2×3×4×5，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝6. 當(dāng)k＝6時(shí)，p＝1×2×3×4×5×

4、6＝720，此時(shí)k<6不再成立，因此輸出p＝720. 4．(2020·九江一模)下面的程序框圖給出了計(jì)算數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和S的算法，算法執(zhí)行完畢后，輸出的S為(　　) A．8 B．63 C．92 D．129 [答案]　C [解析]　程序框圖是計(jì)算S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＝92，∴輸出的S為92，故選C. 5．(2020·三亞調(diào)研)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)

5、接收方收到密文14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為(　　) A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7 [答案]　C [解析]　因加密規(guī)則可得?. 故明文為6,4,1,7. 6．(2020·西寧調(diào)研)觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為(　　) [答案]　A [解析]　表格中的圖形都是矩形、圓、正三角形的不同排列，規(guī)律是每一行中只有一個(gè)圖形是空心的，其他兩個(gè)都是填充顏色的，第三行中已經(jīng)有正三角形是空心的了，因此另外一個(gè)應(yīng)該是陰影矩形． 7．(文)要表示直線與圓的位置關(guān)系最好用下列哪種框圖來表示(　　)

6、 A．流程圖 B．程序框圖 C．結(jié)構(gòu)圖 D．統(tǒng)籌圖 [答案]　C [解析]　直線與圓有三種位置關(guān)系：直線與圓相交，直線與圓相切，直線與圓相離，它們?nèi)呤遣⒘嘘P(guān)系，都從屬與直線與圓的位置關(guān)系，故宜用結(jié)構(gòu)圖表示． (理)(2020·臨沂一模)如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　i＝1≤4滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)后，A＝，i＝2； i＝2≤4滿足，執(zhí)行第二次循環(huán)后，A＝，i＝3； i＝3≤4滿足，執(zhí)行第三次循環(huán)后，A＝，i＝4； i＝4≤4滿足，執(zhí)行第四次循環(huán)后，A＝，i＝5； i＝5≤4不滿足，跳出循環(huán)，輸

7、出A＝. 8．(2020·山東理)復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　D [解析]　本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義． ∵z＝＝＝＝－i. ∴z在復(fù)平面由對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 (，－)，故選D. 9．(2020·福建理)對(duì)于函數(shù)f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計(jì)算f(1)和f(－1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是(　　) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 [答案]　D [解析]　∵f(1)＝asin1＋

8、b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c，且c是整數(shù)，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶數(shù)． 在選項(xiàng)中只有D中兩數(shù)和為奇數(shù)，不可能是D. [點(diǎn)評(píng)]　本題考查求函數(shù)值和邏輯推理，題目是在以往高考題的基礎(chǔ)上改編的，較新穎，題目難度較大． 10．(文)(2020·鷹潭一模)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，則＋的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 [答案]　C [解析]　因?yàn)閤＞0，y＞0，且lg2x＋lg8y＝lg2， 所以x＋3y＝1. 于是，有＋＝(x＋3y)(＋)＝2＋(＋)≥4，故選C. (理)(2020·江西上饒一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明

9、“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 [答案]　A [解析]　假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可． 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上) 11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐

10、標(biāo)為________． [答案]　(－1,1) [解析]?。剑絠(1＋i)＝－1＋i. 故對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1)． 12．(文)(2020·福建理)運(yùn)行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果是________． [答案]　3 [解析]　本題主要考查算法知識(shí)，由于a＝1，b＝2，a＝a＋b＝1＋2＝3. (理)(2020·江西理)下圖是某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是________． [答案]　10 [解析]　本題主要考查程序框圖知識(shí)． n＝1，s＝0＋(－1)1＋1＝0， n＝2時(shí)，s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3時(shí)，s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4時(shí)，s

11、＝5＋(－1)4＋4＝10>9，故運(yùn)行輸出結(jié)果為10. 13．(2020·安徽理)如下圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是________． [答案]　15 [解析]　由T＝T＋k可知T是一個(gè)累加變量，原題實(shí)質(zhì)為求1＋2＋3＋…＋k的和，其和為，令≤105，得k≤14， 故當(dāng)k＝15時(shí)，T＝1＋2＋3＋…＋15＝120>105. 此時(shí)輸出k＝15. 14．(2020·咸陽調(diào)研)已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝的圖像上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖像上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________． [答案]　cn>cn＋1

12、 [解析]　解法1：∵an＝，bn＝n， cn＝－n＝，隨n的增大而減小，為減函數(shù)，∴cn＋11， ∴cn>cn＋1. 15．(文)(2020·唐山模擬)方程f(x)＝x的根稱為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)f(x)＝有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且x1＝1007，xn＋1＝(n∈N＋)，則x2020＝________. [答案]　2020 [解析]　由＝x，得ax2＋(2a－1)x＝0， ∵f(x)有唯一不動(dòng)點(diǎn)， ∴2a－1＝0，即a＝， ∴f(x)＝，∴xn＋1＝＝＝xn＋. ∴x2020＝x1＋×2020＝1007＋1

13、006＝2020. (理)自然數(shù)按下表的規(guī)律排列 則上起第15行，左起第16列的數(shù)為________． [答案]　240 [解析]　經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)： ①第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2； ②第一行第n個(gè)數(shù)為(n－1)2＋1； ③第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1； ④第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1. 則上起第15行，左起第16列的數(shù)應(yīng)為第16列的第15個(gè)數(shù)，即為[(16－1)2＋1]＋14＝152＋1＋14＝15×16＝240. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明

14、過程或演算步驟) 16．(本小題滿分12分)(2020·上海理)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2. [解析]　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i 設(shè)z2＝a＋2i，a∈R，則z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i， ∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 17．(本小題滿分12分)(2020·合肥模擬)給出以下10個(gè)數(shù)：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的數(shù)找出來并輸出，試畫出該問題的程序框圖． [分析]　題目給出了10個(gè)數(shù)字，將大

15、于40的數(shù)找出來．解答本題先確定使用循環(huán)結(jié)構(gòu)，再確定循環(huán)體． [解析]　程序框圖如圖所示： [點(diǎn)評(píng)]　設(shè)計(jì)程序框圖，首先由題意選擇合適的結(jié)構(gòu)，再確定本結(jié)構(gòu)需要的條件． 18．(本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)． (1)z是純虛數(shù)． (2)z是實(shí)數(shù)． (3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限． [解析]　(1)由題意知 解得m＝3. 所以當(dāng)m＝3時(shí)，z是純虛數(shù)． (2)由m2＋3m＋2＝0， 得m＝－1或m＝－2， 又m＝－1或m＝－2時(shí)，m2－2m－2>0， 所以當(dāng)m＝－1或m＝－2時(shí)，z是實(shí)數(shù)． (3)由

16、 即 解得：－10，方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且<0，方程有一正一負(fù)根，符合題意．當(dāng)0

17、a≥0， 方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)根， 且，故方程有兩個(gè)負(fù)根，符合題意． 綜上知：當(dāng)a≤1時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根． 必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根． 當(dāng)a＝0時(shí)，方程為2x＋1＝0符合題意． 當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0應(yīng)有一正一負(fù)或兩個(gè)負(fù)根． 則<0或.解得a<0或0

18、 20．(本小題滿分13分)(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證： (x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3； (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值． [解析]　(1)x是正實(shí)數(shù)，由基本不等式知 x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2， 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立)． (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立． 由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，不等式成立； 當(dāng)x≤0時(shí)，8x3≤0， 而(x＋1)(

19、x2＋1)(x3＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0. 此時(shí)不等式仍然成立． 21．(本小題滿分14分)(2020·貴陽一模)已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1. (1)設(shè)bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)設(shè)cn＝(n＝1,2，…)，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； (3)(理)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式． [解析]　(1)證明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2， 兩式相減，得Sn＋2

20、－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)， 即an＋2＝4an＋1－4an， 變形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列． (2)證明：由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1， ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3， 由(1)知bn＝3·2n－1，又cn＝. ∴cn＋1－cn＝－＝＝. 將bn＝3·2n－1代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)． 由此可知，數(shù)列{cn}是公差d＝的等差數(shù)列． (3)解：由(2)得：c1＝＝，故cn＝n－. ∵cn＝n－＝(3n－1)， ∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2(n＝1,2，…)． 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2. 由于S1＝a1＝1也適合于此公式， 所以{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝(3n－4)·2n－1＋2.