2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測試題四 三角函數(shù)、三角恒等變形、解三角形 北師大版

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1、階段性測試題四 (三角函數(shù)、三角恒等變形、解三角形) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘. 第Ⅰ卷(選擇題 共50分) 一、選擇題(本大題共10個小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.(2020·湖北理)已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,則x的取值范圍為(  ) A.{x|kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z} B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z} C.{x|kπ+≤x≤kπ+,k∈Z} D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z} [答案] B [

2、解析] 本題考查三角變換公式及三角不等式的解法. ∵f(x)=sinx-cosx=2sin(x-), ∴f(x)≥1即sin(x-)≥. ∴2kπ+≤x-≤2kπ+, ∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z. 2.(2020·宜春調(diào)研)已知sinα=,cosα=-,且α為第二象限角,則m的允許值為(  ) A.0,cosα<0, 把m的值代入檢驗(yàn)得,m=4. 3.函數(shù)y=|sinx|-2sinx的值

3、域是(  ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[0,3] D.[-3,0] [答案] B [解析] 當(dāng)0≤sinx≤1時,y=sinx-2sinx=-sinx, 此時y∈[-1,0]; 當(dāng)-1≤sinx<0時,y=-sinx-2sinx=-3sinx, 這時y∈(0,3],求其并集得y∈[-1,3]. 4.(2020·濰坊一模)下列函數(shù)中,其中最小正周期為π,且圖像關(guān)于直線x=對稱的是(  ) A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-) C.y=sin(2x+) D.y=sin(+) [答案] B [解析] ∵T=π,∴ω=2,排除D,

4、把x=代入A、B、C只有B中y取得最值,故選B. 5.(2020·廈門模擬)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,則角B的值為(  ) A. B. C.或 D.或 [答案] D [解析] 依題意得,·tanB=, ∴sinB=,∴B=或B=,選D. 6.(文)(2020·焦作模擬)要得到函數(shù)y=cos2x的圖像,只需將函數(shù)y=sin2x的圖像沿x軸(  ) A.向右平移個長度單位 B.向左平移個長度單位 C.向右平移個長度單位 D.向左平移個長度單位 [答案] B [解析] ∵y=cos2x=sin, ∴只需

5、將函數(shù)y=sin2x的圖像沿x軸向左平移個單位,可得y=sin2=cos2x.故選B. (理)(2020·濟(jì)南模擬)為了得到函數(shù)y=sin的圖像,只需把函數(shù)y=sin的圖像(  ) A.向左平移個長度單位 B.向右平移個長度單位 C.向左平移個長度單位 D.向右平移個長度單位 [答案] B [解析] y=sin=sin, y=sin=sin, ∴只需將y=sin向右平移+=個長度單位. 7.(2020·重慶理)若△ABC的內(nèi)角A 、B、C所對的邊a、b、c滿足(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為(  ) A. B.8-4 C.1 D. [答案] 

6、A [解析] 本題主要考查余弦定理的應(yīng)用. 在△ABC中,C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab, ∴(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab=,選A. 8.(2020·原創(chuàng)題)設(shè)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù),若f(2020)=-1,那么f(2020)等于(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 [答案] C [解析] 因?yàn)閒(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=-1, 所以f(2020)=asin(2020π+α)+

7、bcos(2020π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-(asinα+bcosβ)=1. 9.(2020·西安模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b的圖像如圖所示,則f(1)+f(2)+…+f(2020)的值為(  ) A.2020 B. C.2020 D. [答案] C [解析] 由f(x)的圖像可以得到A=,b=1,T=4,所以ω=,故f(x)=sin+1,再由點(diǎn)在f(x)的圖像上,可得φ=2kπ,k∈Z, 所以f(x)=sin+1. 所以f(1)=+1,f(2)=0+1,f(3)=-+1,f(4)=0+1,所以f(1)+f(2)+f(

8、3)+f(4)=4. 所以f(1)+f(2)+…f(2020)=2020. 10.(2020·皖南八校第二次聯(lián)考)定義行列式運(yùn)算:=a1a4-a2a3,將函數(shù)f(x)=(ω>0)的圖像向左平移個單位,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則ω的最小值是(  ) A. B.1 C. D.2 [答案] B [解析] 由題意知,f(x)=cosωx-sinωx=2cos(ωx+).將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個單位后所得圖像對應(yīng)的函數(shù)y=2cos(ωx+ω+)為偶函數(shù),所以ω+=kπ,k∈Z,ω=k-,k∈Z,∵ω>0,∴ωmin=1,故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題 共100分) 二、填空

9、題(本大題共5個小題,每小題5分,共25分,把正確答案填在題中橫線上) 11.(2020·大綱理)已知α∈(,π),sinα=,則tan2α=________. [答案]?。? [解析] 本小題考查的內(nèi)容是三角函數(shù)值的求法與二倍角公式. sinα=,∴cosα=-,∴tanα=-, tan2α===-. 12.(2020·連云港調(diào)研)在△ABC中,若==,則△ABC是________三角形. [答案] 等邊 [解析] 由已知條件及正弦定理,得tanA=tanB=tanC, 又0

10、滿足條件sinA+cosA=1,AB=2cm,BC=2cm,則A=________,△ABC的面積等于________cm2. [答案]   [解析] 由sinA+cosA=1得 2sin(A+)=1,∴A+=, 即A=π,由=得 sinC===, 所以C=,則B=. S△ABC=AB×BCsinB=(cm2). 14.(2020·合肥月考)已知函數(shù)f(x)=-sin2x+sinxcosx,則f()的值為________. [答案] 0 [解析] f(x)=-×+sin2x =-+sin2x+cos2x =-+sin(2x+) ∴f(π)=-+sin=-+sin =

11、-+=0. 15.(2020·安徽文)設(shè)f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,b∈R,ab≠0,若f(x)≤|f()|對一切x∈R恒成立,則 ①f()=0 ②|f()|<|f()| ③f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) ④f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+,kπ+](k∈Z) ⑤存在經(jīng)過點(diǎn)(a,b)的直線與函數(shù)的圖像f(x)不相交 以上結(jié)論正確的是________(寫出正確結(jié)論的編號). [答案] ①③ [解析] 由f(x)≤|f()|對一切x∈R恒成立知,直線x=是f(x)的對稱軸. 又f(x)=sin(2x+φ)(其中tanφ=)的周期為π, ∴f()=f(+)可

12、看作x=的值加了個周期,∴f()=0.故①正確. ∵-=,-=, ∴和與對稱軸的距離相等. ∴|f()|=|f()|,故②不正確. ∵x=是對稱軸,∴sin(2×+φ)=±1, ∴+φ=±+2kπ,k∈Z. ∴φ=+2kπ或φ=-+2kπ,k∈Z,tanφ==, ∴a=b. ∴f(x)=2|b|sin(2x+)或f(x)=2|b|sin(2x-). ∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),故③正確. 由以上知f(x)=2|b|sin(2x+)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+kπ,+kπ],k∈Z. f(x)=2|b|sin(2x-)的單調(diào)遞增區(qū)間為[+kπ,+kπ],k∈Z. 由于f

13、(x)的解析式不確定,∴單調(diào)遞增區(qū)間不確定,故④不正確. ∵f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+φ)(其中tanφ=). ∴-≤f(x)≤. 又∵ab≠0,∴a≠0,b≠0. ∴-

14、 (1)求tanα的值; (2)求sin(2α-)的值. [解析] (1)由tan(α+)=-3可得=-3. 解得tanα=2. (2)由tanα=2,α∈(0,),可得sinα=,cosα=. 因此sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=-, sin(2α-)=sin2αcos-cos2αsin=×+×=. 17.(本小題滿分12分)(文)(2020·大綱理,17)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知A-C=90°,a+c=b,求C. [解析] 由a+c=b及正弦定理可得 sinA+sinC=sinB. 又由于A-C=90°,B=

15、180°-(A+C),故 cosC+sinC=sin(A+C)=sin(90°+2C)=cos2C. cosC+sinC=cos2C, cos(45°-C)=cos2C. 因?yàn)?°

16、 又A+B+C=π, 所以sinC=2sinA. 因此=2. (2)由=2得c=2a. 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=,b=2. 得4=a2+4a2-4a2×. 解得a=1. 從而c=2, 又因?yàn)閏osB=,且0

17、為x∈[0,],所以2x-∈[-,]. 當(dāng)2x-=-,即x=0時,f(x)有最小值0. (2)f(α)==, 得sin(2α-)=, ∵α∈[0,],2α-∈[-,], 又00,ω>0,0<φ<)的部分圖像如圖所示. (1)求f(x)的解析式; (2)設(shè)g(x)=[f(x-)]2,求函數(shù)g(x)在x∈[-,]上的最大值,并

18、確定此時x的值. [解析] (1)由圖知A=2, =,則=4×,∴ω=. 又f(-)=2sin[×(-)+φ] =2sin(-+φ)=0, ∴sin(φ-)=0, ∵0<φ<,∴-<φ-<, ∴φ-=0,即φ=, ∴f(x)的解析式為f(x)=2sin(x+). (2)g(x)=[f(x-)]2=4sin2(x+) 由x∈[-,]得(x+)∈[-,], 則當(dāng)x+=,即x=時g(x)max=4. 20.(本小題滿分13分)(2020·上饒一模)已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sin(x+)cos(x-)-cos2x-. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;

19、 (2)求函數(shù)f(x)在[-,π]上的最大值和最小值,并指出此時相應(yīng)的x的值. [解析] (1)f(x)=sin2x+2sin(x+)cos(x-)-cos2x-=2sin2(x+)-cos2x- =sin2x-cos2x=2sin(2x-),所以T==π. 由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得, kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π, 單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+,kπ+](k∈Z). (2)由(1)有f(x)=2sin(2x-). 因?yàn)閤∈[-,π], 所以2x-∈[-,π]. 因?yàn)閟in(-)=sinπ

20、x)取得最小值-; 當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得最大值2. 21.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)-. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T; (2)若△ABC的三邊a,b,c滿足b2=ac,且邊b所對角為B,試求cosB的取值范圍,并確定此時f(B)的最大值. [解析] (1)f(x)=2cosx·sin(x+)- =2cosx(sinxcos+cosxsin)- =2cosx(sinx+cosx)- =sinxcosx+·cos2x- =sin2x+·- =sin2x+cos2x=sin(2x+). ∴T===π. (2)由余弦定理cosB=得, cosB= =-≥-=, ∴≤cosB<1, 而 0

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