2020年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題02 函數(shù)和反函數(shù)

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1、2020年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題02 函數(shù)和反函數(shù) 1．已知定義域?yàn)閇0，1)的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足①對(duì)任意x∈[0，1]，總有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)． (1)求f(0)的值； (2)求函數(shù)f(x)的最大值． 2．設(shè)f(x)是定義在(0，+∞)上的函數(shù)，k是正常數(shù)，且對(duì)任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立． 若f(x)是(0，+∞)上的增函數(shù)，且k=1，求證：f(x)=x． (2)對(duì)于任意的x1、x2∈(0，+∞)，當(dāng)x2>x1時(shí)，有f(x2)-f(x1

2、)＞x2-x1成立，如果k=2，證明：＜＜． 難點(diǎn)2 綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題 1．設(shè)f(x)是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)．當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f(x)=g(2-x)，且當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3， (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)是否存在正實(shí)數(shù)a(a＞6)，使函數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線y=12上，若存在，求出正實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】 (1)運(yùn)用函數(shù)奇偶性和條件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正實(shí)數(shù)a． 【答案】

3、 (1)當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，2-x∈[2，3] f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax 得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0]) 2．函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[2，3]時(shí),f(x)=x-1．在y=f(x)的圖像上有兩點(diǎn)A、B，它們的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)都在區(qū)間[1，3]上，定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面積的最大值． 當(dāng)>2，即a>3時(shí)，函數(shù)S在[1，2]上單調(diào)遞增，∴S有最大值S(2)=a-2． 難點(diǎn)3 反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合 1．在R上的遞減函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)且僅當(dāng)x∈MR+函數(shù)值f(x

4、)的集合為[0，2]且f()=1；又對(duì)M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)． (1)求證：∈M，而M； (2)證明:f(x)在M上的反函數(shù)f-1(x)滿足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)． (3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤(x∈[0，2])． 【解析】 由給定的函數(shù)性質(zhì)，證明自變量x是屬于還是不屬于集合"，最后利用反函數(shù)的概念、性質(zhì)證明反函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)和解反函數(shù)的不等式． 【答案】 (1)證明：∵∈M，又=×,f()=1．∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2∈[0，2]， ∴∈M， 【學(xué)科

5、思想與方法】 2.函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想 “數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的．在解答選擇題的過程中，可以先根據(jù)題意，做出草圖，然后參照?qǐng)D形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，并綜合圖象的特征得出結(jié)論． 【例1】設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝則f(x)的值域是(　　)． 【變式】函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝2sin πx(－2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于(　　)． A．2 B．4 C．6 D．8 解析：令1－x＝t，則x＝1－t.

6、 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)1 函數(shù)的定義域和值域 1．(2020模擬題精選)對(duì)定義域Df、Dg的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)= (1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2，寫出函數(shù)h(x)的解析式; (2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域． 【錯(cuò)誤答案】 (1)∵f(x)的定義域Df為(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定義域Dg為2．(2020模擬題精選)記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定義域?yàn)锽. (1)求A； (2)若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 3．(2020模擬題精選)記函數(shù)f(x)=lg(

7、2x-3)的定義域?yàn)榧螹，函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)榧螻．求 集合M，N； 集合M∩N．M∪N. ∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}． 【特別提醒】 對(duì)于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍，必須對(duì)字母酌取值情況進(jìn)行討論，特別注意定義域不能為空集。2．求函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用． 【變式探究】 1 若函數(shù)y=lg(4-a·2x)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A．(0，+∞) B．(0，2) C．(-∞，2) D．(-∞，0) 答案：D

8、 解析：∵4-a 2 已知函數(shù)f(x)的值域是[-2，3]，則函數(shù)f(x-2)的值域?yàn)? ( ) A．[-4，1] B．[0,5] C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3] 答案：D 解析：f(x-2)的圖象是把f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位.因此f(x-2)的值域不變. 3 已知函數(shù)f(x)=lg(x2-2mx+m+2) (1)若該函數(shù)的定義域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)由題設(shè)，得不等式x2-2mx+m+2>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立， ∴△=（-2m）2-4(m+2)<0,解得-1

9、數(shù)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 答案：由題設(shè)，得不等式△=（-2m）2-4(m+2) ≥0解得m≤1或m≥2. 3.已知函數(shù)f(x)=log3的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求實(shí)數(shù)m，n的值． 或 解得，a∈?． (2)若f(x)在[-1，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)， 則f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立． ∴ex[x2+2(1-a)x-2a]≤0在[-1，1]上恒成立． ∵ex>0．∴h(x)=x2+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立． 則有 ∴當(dāng)a∈[，+∞]時(shí)，f(x)在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)． 2．(2020模擬題精選)已知函數(shù)f(x)

10、=ax+(a＞1) (1)證明：函數(shù)f(x)在(-1，+∞)上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根． 即不存在0＞x0>-1的解． 當(dāng)x0<-1時(shí)．x0+1＜0<0，-1+＜-1，而ax0>0矛盾．即不存在x0<-1的解． 3．(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)=l0ga(x3-ax)(a＞0且a≠1)在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ( ) A.[，1] B.[，1] C.[，+∞] D.(1，-) 【特別提醒】 1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域． 2．函數(shù)的單調(diào)

11、性是對(duì)區(qū)間而言的，如果f(x)在區(qū)間(a，b)與(c，d)上都是增(減)函數(shù)，不能說 f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是增(減)函數(shù)． 3．設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=g(x)都是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在其定義域上也是單調(diào)函數(shù)．若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù)；若y=f(u)，u=g(x)的單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是減函數(shù)．列出下表以助記憶． y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)] ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘ ↗ ↘ ↗ ↘ 上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減”．

12、 【變式探究】 1 函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)

13、(n)(n∈N*) 解析(1) 設(shè)當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＞1，試解不等式f(x+5)＞. 答案：(2)對(duì)任意的 易錯(cuò)點(diǎn)3 函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用 1．(2020模擬題精選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當(dāng)x∈[3，4]時(shí),f(x)=x-2．則 ( ) A．f(sin)＜f(cos) B．f(sin)＞f(cos) C．f(sin1)＜f(cos1) D.f(sin)＜f(cos) 【錯(cuò)誤答案】 A 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個(gè)周期．設(shè)x∈[-1，0]知x+4∈[3，4] ∴f(

14、x)=f(x+4)=x+4-2=x+2． ∴f(x)在[-1，0]上是增函數(shù) 又f(x)為偶函數(shù)．∴f(x)=f(-x) 2．(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-∞，0)上是減函數(shù)，且f(2)=0，則使得f(x)＜0的x的取值范圍是 ( ) A．(-∞，2) B．(2，+∞) C．(-∞，-2)∪(2，+∞) D．(-2，2) 4．(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0． (1)試

15、判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2020，2020]上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論． f(3)=f(13)=…=f(2020)=0 f(x)=0在[0，2020]上共有402個(gè)解．同理可求得f(x)=0在[-2020，0]上共有400個(gè)解． ∴f(x)=0在[-2020，2020]上有802個(gè)解． 【特別提醒】 1．函數(shù)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行 化簡(jiǎn)． 2．要注意從數(shù)和形兩個(gè)角度理解函數(shù)的奇偶性，要充分利用f(x)與f(-x)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和圖像的對(duì)稱性解決有關(guān)問題． 3．解題中要注意以下性質(zhì)的

16、靈活運(yùn)用. (1)f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(-x)=f(|x|)． (2)若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)=0. 【變式探究】 1 f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù)，已知g(x)=f(x-1)，若g(-1)=2020，則f(2020)的值為 ( ) A．2020 B．-2020 C.-2020 D．2020 答案：D 解析：由題設(shè)條件易得f(x+4)=f(x), ∴f(2020)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2020. ∴f(2006)=2020. 2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒滿足f(

17、x+2)=-f(x)．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x+x2． (1)求證:f(x)是周期函數(shù)； 3.設(shè)a、b∈R，且a≠2定義在區(qū)間(-b，b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù)，求b的取值范圍． 解析：f(x)=lg是奇函數(shù)，等價(jià)于，對(duì)任意x∈(-b,b)都有：???????????① ②式即為lg即a2x2=4x2.此式對(duì)任意x∈(-b,b)都成立相當(dāng)于a2=4, ∵a≠2, ∴a=-2.代入(2)得 即 易錯(cuò)點(diǎn)4 反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用 1．(2020模擬題精選)函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[1，2]上存在反函數(shù)的充分必要條件是 ( ) A．a(chǎn)∈

18、(-∞，1) B．a(chǎn)∈[2，+∞] C．a(chǎn)∈[1，2] D．a(chǎn)∈(-∞，1)∪[2，+∞] +∞]．∴x-1==1+．x、y對(duì)換得y=1+ 又∵y=(1≤x≤2)．∴0≤y≤1即原函數(shù)值域?yàn)閇0，1]．所以反函數(shù)為y=1- (0≤x≤1).選B. 3．(2020模擬題精選)設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a＞1)的反函數(shù)，則使f-1(x)＞1成立的x的取值范圍為 ( ) A．(，+∞) B．(-∞，) C．(,a) D．(a，+∞) 4.(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱，且存在反函數(shù)f-1(x)，f(4)

19、=0，f-1(4)=________． 【錯(cuò)誤答案】 填0 ∵y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱，又∵f(4)=0，∴f(0)=4，∴f-1(4)=0 【錯(cuò)解分析】 上面解答錯(cuò)在由圖像過點(diǎn)(4，0)得到圖像過點(diǎn)(4，0)上，因?yàn)閒(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱不是關(guān)于y=x對(duì)稱，因此應(yīng)找出圖像過點(diǎn)(-2，4)是關(guān)鍵． 【正確解答】 填-2． 【特別提醒】 1.求反函數(shù)時(shí)必須注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍，只能取一個(gè)；(2)要求反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域． 2．分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合

20、成． 3．若點(diǎn)(a，b)在原函數(shù)y=f(x)的圖像上，則(b，a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上． 【變式探究】 1 函數(shù)y=3x2-1(-1≤x＜0)的反函數(shù)是 ( ) A．y=(x≥) B．y=- (x≥) C．y= (

21、,3T)的反函數(shù)為 ( ) A.y=f-1(x)，x∈D B．y=f-1(x-2T),x∈D C.y=f-1(x+2T)，x∈D D.y=f-1(x)+2T．x∈D 答案：D 解析：∵x∈(2T,3T), ∴x-2T=(0,T).又∵f(x)的周期為2T，y=f(x)=f(x-2T). ∴x-2T=f-1(y)+2T,x,y互換，得 y=f-1(x)+2T.當(dāng)x∈(2T,3T)的反函數(shù)為y=f-1(x)+2T,x∈D. 3 已知f(x)=的反函數(shù)．f-1(x)的圖像的對(duì)稱中心是(-1，3)，求實(shí)數(shù)a的值． 2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)

22、滿足f(-x)=-f(x+4)．當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)的值為 ( ) A.可能為0 B．恒大于0 C.恒小于0 D．可正可負(fù) 答案：C 解析：不妨設(shè)x1

23、)=()x，那么f-1(0)+f-1(-8)的值為 ( ) A．2 B．-3 C．3 D．-2 答案：C解析：f(x)= f-1(-8)=3.故選 C. 4.符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1．08]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]，那么下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( ) ①函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]； ②方程{x}=有無數(shù)解； ③函數(shù){x}是周期函數(shù)； ④函數(shù){x}是增函數(shù)． A.1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案：C 解析：∵f(x)的周期為3，∴f(2)=f(-1)=

24、-f(1)<-1.即1或m<-1 答案：D 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為偶函數(shù)，所以y=f(1-x)=f(x-1),它的圖可由y=f(x)的圖向右平移1個(gè)單位得到，故對(duì)稱軸為x=1,且在（4，6）內(nèi)是增函數(shù)，故選D。 6 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(3，5)，則函數(shù)y=f(1-x) ( ) A.圖像的對(duì)稱軸為x=-1，且在(2，4)內(nèi)是增函數(shù) B．圖

25、像的對(duì)稱軸為x=1，且在(2，4)內(nèi)是減函數(shù) C.圖像的對(duì)稱軸為x=0，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù) D．圖像的對(duì)稱軸為x=1，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù) 7 函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=的定義域?yàn)锽，且A∩B=? ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________ 答案：解析：[-1，3]由x2-2x-8≥0?x≤-2或x≥4.由1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1

26、定義域上是減函數(shù)，且f(a-1)>f(1-a2)．求a的取值范圍； 答案：解析：由犧件可得 10.若f(x)滿足：在(0，+∞)上f(xy)=f(x)+f(y)，且對(duì)x＞1，f(x)>0恒成立，求證：f(x)存在反函數(shù)f-1(x)并比較f-1與 [f-1(a)+f-1(b)]的大?。? ∴ 故 11.已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|x2-14x+24≤0}，x1t∈R，且AB． (1)對(duì)于區(qū)間[a，b]，定義此區(qū)間的“長(zhǎng)度”為b-a． 若A的區(qū)間“長(zhǎng)度”為3，試求t的值． (2)某個(gè)函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0．6，試確定t的取

27、值范圍． 12集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的，對(duì)任的x≥0,f(x)∈[-2，4]，有f(x)在[0，+∞]上是增函數(shù)． (1)試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·()(x≥0)是否在集合A中?若不在集合A中，試說明理由； 答案：解析：（1）log2t-2=3?t=32; （2）對(duì)于(1)中你認(rèn)為是集合A中的函數(shù)f(x)不等式f(x)+f(x+2)＜2f(x+1)是否對(duì)于任意的x≥D總成立?證明你的結(jié)論． 答案：B=[2,12],由題意及概率的意義得即t∈[256,4096]. 12 集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的，對(duì)任意的x≥0，f(x)∈[-2，

28、4]，有f(x)在[0，+8]上地增函數(shù)。試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·（）x（x≥0）是否在集合A中？若不在集合A中，試說明理由； 13 已知函數(shù)f(x)=(x＞0)． (1)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是遞增的還是遞減的．(不必證明) 答案：f(x)=x (2)若不等式f(x)＞0對(duì)于x∈(0，+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 答案：f(x)>0即a>-恒成立，∴a> 由（1）的結(jié)論知當(dāng) (3)若f(x)(x≥1)的反函數(shù)f-1(x)，試求f-1(a+). 答案：根據(jù)反函數(shù)的意義，令 14、已知函數(shù)f(x)=x3+ax

29、+b定義在區(qū)間[-1，1]上，且f(0)=f(1)，又P(x1，y1)，q(x2，y2)是其圖像上任意兩點(diǎn)(x1≠x2)． (1)求證：f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，b)成中心對(duì)稱圖形； 答案：∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得a=-1. ∴f(x)=x3-x+b的圖象可由y=x3-x的圖象向上（或向下）平移b（或-b ）個(gè)單位得到.又y=x3-x是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，∴f(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，b）成中心對(duì)稱圖形。 (2)設(shè)直線PQ的斜率為k，求證：|k|＜2． 答案：∵點(diǎn)P（x1,y1）,Q(x2y2)在f(x)=x3-x+b的圖象上， ∴k= 又 (3)若0≤x1