2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4-4課時作業(yè)

上傳人:艷*** 文檔編號:110340596 上傳時間:2022-06-18 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?32.50KB
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1、課時作業(yè)(十八) 一、選擇題 1.設(shè)f(n)=1+++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于(  ) A.         B.+ C.+ D.++ 答案 D 2.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立,則a、b、c的值為(  ) A.a(chǎn)=,b=c=      B.a(chǎn)=b=c= C.a(chǎn)=0,b=c= D.不存在這樣的a、b、c 答案 A 解析 ∵等式對一切n∈N*均成立, ∴n=1,2,3時等式成立, 即 整理得解得a=,b=c=. 3.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通

2、過求a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式為(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由a1=,Sn=n(2n-1)an, 得S2=2(2×2-1)an,即a1+a2=6a2, ∴a2==,S3=3(2×3-1)a3, 即++a3=15a3. ∴a3==,a4=.故選C. 二、填空題 4.n為正奇數(shù)時,求證:xn+yn被x+y整除,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k-1命題為真時,進(jìn)而需證n=________,命題為真. 答案 2k+1 三、解答題 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n是不小于5的自然數(shù)時,總有2n>n2成立. 解析?、佼?dāng)n=5時,25>52,結(jié)論成立; ②假

3、設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥5)時,結(jié)論成立,即2k>k2. 那么當(dāng)n=k+1時,左邊=2k+1=2·2k>2·k2=(k+1)2+(k2-2k-1)=(k+1)2+(k-1-)(k-1+)>(k+1)2=右邊. 也就是說,當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. ∴由①②可知,不等式2n>n2對滿足n∈N*,n≥5時的n恒成立. 6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意的自然數(shù)n都有:(Sn-1)2=anSn. (1)求S1,S2,S3; (2)猜想Sn的表達(dá)式并證明. 解析 (1)由(S1-1)2=S得:S1=; 由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=; 由(S3-1)2=

4、(S3-S2)S3得:S3=. (2)猜想:Sn=. 證明:①當(dāng)n=1時,顯然成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)時,Sk=成立. 則當(dāng)n=k+1時,由(Sk+1-1)2=ak+1Sk+1得:Sk+1===, 從而n=k+1時,猜想也成立. 綜合①②得結(jié)論成立. 7.在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*). (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測{an},{bn}的通項公式,并證明你的結(jié)論; (2)證明:++…+<. 解析 (1)由條件得 2bn=an+an+1,

5、a=bnbn+1. 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時,由上可得結(jié)論成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么當(dāng)n=k+1時, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2), bk+1==(k+2)2.所以當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. 由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切正整數(shù)都成立. (2)=<. n≥2時,由(1)知 an+bn=(n+1)(2n+1)>2

6、(n+1)·n. 故++…+ <+(++…+) =+(-+-+…+-) =+(-)<+=. 8.已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an·(4-an),(n∈N). 證明:an

7、ak-1-ak). 而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以ak-ak+1<0. 又ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]<2. 所以n=k+1時命題成立. 由(1)(2)可知,對一切n∈N時有an

8、即當(dāng)n=k+1時,akan,求a1的取值范圍. 解析 (Ⅰ)已知a1是奇數(shù),假設(shè)ak=2m-1是奇數(shù),其中m為正整數(shù), 則由遞推關(guān)系得ak+1==m(m-1)+1是奇數(shù). 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知,對任何n∈N*,an是奇數(shù). (Ⅱ)解法一 由an+1-an=(an-1)(an-3)知,當(dāng)且僅當(dāng)an<1或an>3時,an+1>an. 另一方面,若0

9、3,則ak+1>=3. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知?n∈N*,03?an>3. 綜上所述,對一切n∈N*都有an+1>an的充要條件是03. 解法二 由a2=>a1,得a-4a1+3>0,于是03. an+1-an=-=, 因為a1>0,an+1=,所以所有的an均大于0,因此an+1-an與an-an-1同號. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知,?n∈N*,an+1-an與a2-a1同號. 因此,對于一切n∈N*都有an+1>an的充要條件是03. 10.(2

10、020·濟(jì)南統(tǒng)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0,的兩根,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且Tn=1-bn. (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,試比較與Sn+1的大小,并說明理由. 思路分析 (1)求得a2、a5的值即可得an的表達(dá)式,再利用Tn-Tn-1=bn求出{bn}的通項公式; (2)首先求出Sn+1與的表達(dá)式,先進(jìn)行猜想,再進(jìn)行證明. 解析 (1)由已知得 又∵{an}的公差大于0,∴a5>a2. ∴a2=3,a5=9. ∴d===2,a1=1. ∵Tn=1-bn,b1=,

11、當(dāng)n≥2時,Tn-1=1-bn-1, ∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1), 化簡,得bn=bn-1, ∴{bn}是首項為,公比為的等比數(shù)列, 即bn=·()n-1=. ∴an=2n-1,bn=. (2)∵Sn=n=n2, ∴Sn+1=(n+1)2,=, 以下比較與Sn+1的大?。? 當(dāng)n=1時,=,S2=4,∴S5. 猜想:n≥4時,>Sn+1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=4時,已證. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥4)時,>Sk+1, 即>(k+1)2, 那么,n=k+1時, ==3·>3(k+1)2 =3k2+6k+3 =(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1, ∴n=k+1時,>Sn+1也成立. 由①②可知n∈N*,n≥4時,>Sn+1成立. 綜上所述,當(dāng)n=1,2,3時,Sn+1.

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