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1、2020年高考數(shù)學二輪復習同步練習:專題4 數(shù)列
1.(2020·大綱全國卷文,17)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
[解析] 設{an}的公比為q,由已知有:
.解得或
(1)當a1=3,q=2時,an=a1·qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)當a1=2,q=3時,an=a1·qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.
綜上,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
2.(文)(2020·浙江文,19)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1為a
2、(a∈R),且,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對n∈N+,試比較+++…+與的大?。?
[解析] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意可知()2=·,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),從而a1d=d2
因為d≠0,所以d=a1=a
故通項公式an=na;
(2)記Tn=++…+,因為a2k=2k·a,
所以Tn=(++…+)
=·=[1-()n]
從而,當a>0時,Tn<;當a<0時,Tn>.
(理)(2020·浙江理,19)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1為a.(a∈R),設數(shù)列的前n項和為Sn且,,成等比數(shù)列.
(1)求
3、數(shù)列{an}的通項公式及Sn;
(2)記An=+++…+,Bn=+++…+,當n≥2時,試比較An與Bn的大?。?
[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d,由()2=·,得(a1+d)2=a1(a1+3d).
因為d≠0,所以d=a1=a.
所以an=na,Sn=.
(2)因為=(-),所以
An=+++…+=(1-).
因為a2n-1=2n-1a,所以Bn=+++…+
=·=(1-),
由n≥2時,2n=C+C+…+C>n+1,
即1-<1-,
所以,由a>0時,AnBn.
3.(2020·陜西理,19)如圖,從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲
4、線y=ex于點Q1(0,1),曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2,依次重復上述過程得到一系列點:P1,Q1;P2,Q2;…,Pn,Qn,記Pk點的坐標為(xk,0)(k=1,2,…,n).
(1)試求xk與xk-1的關(guān)系(2≤k≤n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
[解析] (1)設Pk-1(xk-1,0),由y′=ex得Qk-1(xk-1,exk-1)點處切線方程為y-exk-1=exk-1(x-xk-1).
由y=0得xk=xk-1-1 (2≤k≤n).
(2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk
5、=-(k-1),
所以|PkQk|=exk=e-(k-1),于是
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)
==.
4.(2020·山東青島)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的導函數(shù)f′(x)=-2x+7,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值;
(2)令bn=,其中n∈N*,求{nbn}的前n項和.
[分析] (1)先求a,b,再根據(jù)Sn與n的關(guān)系求an及Sn的最大值.
(2)先確定bn,再根據(jù)nbn的結(jié)
6、構(gòu)特征求和.
[解析] (1)∵f(x)=ax2+bx(a≠0),
∴f′(x)=2ax+b,
由f′(x)=-2x+7得:a=-1,b=7,
所以f(x)=-x2+7x,
又因為點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上,所以有Sn=-n2+7n.
當n=1時,a1=S1=6;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2n+8,
∴an=-2n+8(n∈N*).
令an=-2n+8≥0得n≤4,
∴當n=3或n=4時,Sn取得最大值12.
綜上,an=-2n+8(n∈N*),
當n=3或n=4時,Sn取得最大值12.
(2)由題意得b1==8,bn==2
7、-n+4,
所以=,即數(shù)列{bn}是首項為8,公比是的等比數(shù)列,
故{nbn}的前n項和Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4,①
Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3,②
所以①-②得:Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3
∴Tn=-n·24-n=32-(2+n)24-n.
[評析] 本題也是數(shù)列與函數(shù)的綜合應用,求解時,要應用函數(shù)的思想,把數(shù)列中的關(guān)系表示出來,同時要注意運算的準確性.
5.在直角坐標系平面上,點列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,對每個正整數(shù)n,點Pn都在函數(shù)y=3x+的圖像上
8、,且Pn的橫坐標構(gòu)成以-為首項,-1為公差的等差數(shù)列{xn}.
(1)求點Pn的坐標;
(2)設拋物線列C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸,第n條拋物線Cn的頂點為Pn且過點Dn(0,n2+1),記過點Dn且與拋物線Cn相切的直線的斜率為k,求證:++…+<.
[分析] (1)利用點(xn,yn)在直線上,代入方程求yn.
(2)依題設構(gòu)建第n條拋物線方程:
y=a(x-xn)2+yn,再用點Dn(0,n2+1)在拋物線上求a.求kn時,借助導數(shù)kn=y(tǒng)′|x=0.
[解析] (1)∵Pn的橫坐標構(gòu)成以-為首項,-1為公差的等差數(shù)列{xn},
∴xn=x
9、1+(n-1)d=--(n-1)=-n-,
∵Pn(xn,yn)在函數(shù)y=3x+的圖像上,
∴yn=3xn+=3(-n-)+=-3n-.
∴Pn的坐標為(-n-,-3n-).
(2)證明:據(jù)題意可設拋物線Cn的方程為:
y=a(x-xn)2+yn,由(1)得
y=a(x+n+)2-3n-,
∵拋物線Cn過點Dn(0,n2+1),
∴n2+1=a(n+)2-3n-
=an2+(3a-3)n+-,
∴a=1,∴y=(x+n+)2-3n-,
∵過點Dn且與拋物線Cn相切的直線的斜率為kn,且y′=2x+2n+3,
∴kn=y(tǒng)′|x=0=2n+3,
∴=
=(-),
∴+
10、+…+
=(-+-+…+-)
=(-)<.
[評析] 1.本題體現(xiàn)了數(shù)列與解析幾何的完美結(jié)合,涉及的主要知識點有等差數(shù)列的通項公式,裂項法求和,拋物線的方程,用導數(shù)求切線的斜率等,綜合考查了學生分析問題、解決問題的能力.
2.此類題目中,解析幾何一般只作為載體出現(xiàn),求解時,要正確解讀解析幾何語言,把它譯成數(shù)列的有關(guān)關(guān)系式,再借助數(shù)列知識求解或求證.
6.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n+2(n≥2,a1=2).
(1)求a2,a3,a4;
(2)是否存在一個實數(shù)λ,使得數(shù)列{}成等差數(shù)列?若存在,求出λ的值,若不存在,請說明理由.
(3)(理)求數(shù)列{an}的前n項和
11、Sn,并證明Sn≥n3+n2.
[解析] (1)a2=4+4+2=10,a3=20+8+2=30,
a4=60+16+2=78.
(2)假設存在一個實數(shù)λ,使得數(shù)列{}成等差數(shù)列,則-
==1+恒為常數(shù).
∴2-λ=0,即λ=2.此時=2,-=1,
∴當λ=2時,數(shù)列{}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.
(3)(理)由(2)得=+(n-1)=n+1,
∴an=(n+1)2n-2,
則Sn=2·2+3·22+4·23+…+(n+1)·2n-2n,
2Sn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1-4n,
兩式相減得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)·
12、2n+1+2n=-n·2n+1+2n,
∴Sn=n·2n+1-2n,
不難驗證,當n=1或2時,有Sn=n3+n2,
當n≥3時,Sn=n·2n+1-2n=2n[(1+1)n-1]
=2n[1+n++…]
≥2n[1+n+-1]=n3+n2,
綜上知Sn≥n3+n2.
[評析] (1)求λ值時,應用-=常數(shù)求解,不需驗證.而用-=常數(shù)求解時,要驗證-的值為同一個常數(shù).
(2)用錯位相減法求和時,因運算過程較繁,容易造成運算失誤,因此,不但要理解算理,而且應加強練習,熟練運算.
(3)(理)在證明有關(guān)指數(shù)式與多項式的關(guān)系時,常把指數(shù)式用二項式定理展開,然后用放縮法證明不等關(guān)系.