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1、高考專題訓練三十 不等式選講(選修4-5)
班級_______ 姓名_______ 時間:45分鐘 分值:100分 總得分_______
一、填空題(每小題5分,共35分)
1.(2020·合肥)設a、b為正數(shù),且a+b=1,則+的最小值是________.
解析:本題考查均值不等式求最小值,按不同的變形方式的解法也有很多.最常見的解法:
+=+=++1+
=++≥+2 =+.
答案:+
2.(2020·鄭州)已知實數(shù)x、y滿足3x2+2y2≤6,則P=2x+y的最大值是________.
解析:本題考查圓錐曲線的參數(shù)方程、三角函數(shù)的和差角公式等知識.所給不等式表示的區(qū)域為橢
2、圓+=1及其邊界部分.設橢圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),0≤θ<2π),則P=2cosθ+sinθ=sin(α+θ).故P的最大值為.
答案:
3.函數(shù)y=+的最大值為________.
解析:由柯西不等式得+
≤=.
答案:
4.(2020·廣東深圳第二次調(diào)研)關于x的不等式|x-2|+|x-a|≥2a在R上恒成立,則實數(shù)a的最大值是________.
解析:本小題考查了絕對值的定義,令f(x)=|x-2|+|x-a|,當a>2時,易知f(x)的值域為[a-2,+∞),使f(x)≥2a恒成立,需a-2≥2a成立,即a≤-2(舍去).
當a<2時,f(x)的值域為[2-a,+∞
3、),使f(x)≥2a恒成立,需2-a≥2a成立,即a≤.
當a=2時,需|x-2|≥a恒成立,即a≤0(舍去).
綜上a的最大值為.
答案:
5.(2020·東北三校)設a>b>0,x=-,y=-,則x、y的大小關系是x________y.
解析:由x-y=--(-)
=-
=<0,所以x
4、則x的取值范圍是________.
解析:函數(shù)f(x)=,可分段求函數(shù)的最小值,得f(x)min=3.
解不等式組或或求并集得所求x的取值范圍是[0,5].
答案:3 [0,5]
二、解答題(共65分)
8.(11分)如圖,O為數(shù)軸的原點,A,B,M為數(shù)軸上三點,C為線段OM上的動點.設x表示C與原點的距離,y表示C到A距離的4倍與C到B距離的6倍的和.
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)要使y的值不超過70,x應該在什么范圍內(nèi)取值?
解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30.
(2)依題意,x滿足
解不等式組,其解集為[9,23].
所以x∈[
5、9,23].
9.(10分)(2020·遼寧)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)證明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
解:(1)證明:f(x)=|x-2|-|x-5|
=
當2
6、.
10.(11分)(2020·蘇錫常鎮(zhèn)卷)已知a,b是不相等的正實數(shù).求證:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.
證明:因為a,b是正實數(shù),所以a2b+a+b2≥3=3ab>0,當且僅當a2b=a=b2,即a=b=1時,等號成立;
同理:ab2+a2+b≥3=3ab>0,當且僅當a=b=1時,等號成立.
所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,
當且僅當a=b=1時,等號成立.
因為a≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.
11.(11分)(2020·南通卷)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a
7、+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
解:由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x).
又因為≥=2,則有2≥f(x).
解不等式|x-1|+|x-2|≤2得≤x≤.
12.(11分)(2020·福建)設不等式|2x-1|<1的解集為M.
(1)求集合M;
(2)若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大小.
解:(1)由|2x-1|<1得,-1<2x-1<1,
解得00.
故ab+1>a+b.
13.(11分)(2020·課標)設函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值.
解:(1)當a=1時,f(x)≥3x+2可化為
|x-1|≥2,
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得
|x-a|+3x≤0.
此不等式化為不等式組
或
即或
因為a>0,所以不等式組的解集為.
由題設可得-=-1,故a=2.