2020高考數(shù)學(xué) 專題四綜合測試題 文

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1、專題四綜合測試題 (時(shí)間：120分鐘　　　滿分：150分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．函數(shù)f(x)＝lgsin的一個(gè)增區(qū)間為(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：由sin>0，得sin<0，∴π＋2kπ<2x－<2π＋2kπ，k∈Z；又f(x)＝lgsin的增區(qū)間即sin在定義域內(nèi)的增區(qū)間， 即sin在定義域內(nèi)的減區(qū)間，故π＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z.化簡得＋kπ

2、a>0)的最小正周期為1，則它的圖象的一個(gè)對稱中心為(　　) A．(－，0) B．(－，0) C. D．(0,0) 解析：f(x)＝2sin(a>0)，∵T＝＝1，∴a＝2π，∴f(x)＝2sin，由2πx＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝，故是其一個(gè)對稱中心，故選C. 答案：C 3．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋acosx(a<0)的定義域?yàn)閇0，π]，最大值為4，則a的值為(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－4 解析：f(x)＝asinx＋acosx＝asin，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，x＋∈，∴sin∈，由于a<0，故asin∈[a，

3、－a]，即f(x)的最大值為－a，∴－a＝4，即a＝－4.故選D. 答案：D 4.將函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)的圖象向右平移個(gè)單位，所得曲線的一部分如圖所示，則f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝sin＋1 B．f(x)＝sin＋ C．f(x)＝2sin－ D．f(x)＝sin＋ 解析：圖象平移之前與平移之后的A，ω，k都是相同的，由平移之后的圖象可知2A＝3，∴A＝，k＝；T＝2×＝，∴ω＝. 設(shè)平移后的函數(shù)解析式為g(x)＝sin＋，將代入，得 sin＝1，∴φ1＝2kπ＋，k∈Z，取k＝0，則φ1＝，故g(x)＝sin

4、＋. 將其圖象向左平移個(gè)單位，得f(x)的解析式為f(x) ＝sin＋， 即f(x)＝sin＋.故選B. 答案：B 5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝4，b＝4，則B＝(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上都不對 解析：由正弦定理，得sinB＝×4×＝，∴B＝45°或135°，又a>b，∴A>B，∴B＝45°.故選C. 答案：C 6．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．

5、等腰直角三角形 解析：∵cos2＝，∴＝， ∴1＋＝， 化簡得a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．故選B. 答案：B 7．在△ABC中，若角A，B，C成公差大于0的等差數(shù)列，則cos2A＋cos2C的最大值為(　　) A. B. C．2 D．不存在 解析：∵角A，B，C成等差數(shù)列，∴A＋C＝2B， 又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°. cos2A＋cos2C＝＋＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋[cos(240°－2C)＋cos2C]＝1＋cos(2C＋60°)． ∵60°

6、<1＋cos(2C＋60°)<，即cos2A＋cos2C的最大值不存在，故選D. 答案：D 8．關(guān)于x的方程cos2x＋sin2x＝2k在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：由cos2x＋sin2x＝2k，得k＝(cos2x＋sin2x)＝ sin，當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈， ∴－

7、b＋＝b＋a.故選C. 答案：C 10．設(shè)a＝，b＝，若a∥b，則銳角α為(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵a∥b，∴×－sinαcosα＝0，即sin2α＝1，由于α為銳角，故0°<2α<180°，∴2α＝90°，∴α＝45°.故選B. 答案：B 11．已知正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(1,0)， B(5,3)，D點(diǎn)在第二象限，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　) A．(3,7) B．(8，－1) C．(－1,11) D．(2,7) 解析：由于A(1,0)，B(5,3)，故＝(4,3)，設(shè)D(x，y)，則＝(x－1，y

8、)，且⊥，||＝||，即，解得或(舍去)，即D(－2,4)． 設(shè)C(a，b)，則＝(a＋2，b－4)，由＝，得，故，即C(2,7)．故選D. 答案：D 12．點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，若λ>0，μ>0，點(diǎn)P滿足＝＋λ，＝＋λ，則點(diǎn)P是△ABC的(　　) A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心 解析：∵＝＋λ，∴－＝ λ，即＝λ，而與分別是與方向上的單位向量，故＋的方向與∠BAC的平分線的方向相同，又λ>0，故 λ與∠BAC的平分線的方向相同，所以點(diǎn)P在∠BAC的平分線上．同理，點(diǎn)P在∠ABC的平分線上，故點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心．選B. 答案

9、：B 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上． 13．(2020·福建)如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC＝45°，則AD的長度等于________． 解析：在△ABC中，cosC＝＝， ∴C＝30°，由＝， ∴AD＝·sinC＝·＝. 答案： 14．(2020·安徽)已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________． 解析：設(shè)三邊長為a，a＋4，a＋8，則120°角所對邊長為a＋8，由余弦定理得(a＋8)2＝a2＋(a＋4)2－2a·(a＋4)·cos

10、120°，化簡得a2－2a－24＝0，解得a＝6或a＝－4(舍去)． ∴三角形面積S＝a·(a＋4)·sin120°＝15. 答案：15 15．(2020·課標(biāo))在△ABC中，B＝60°，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________． 解析：由正弦定理，＝＝＝2， 得AB＝2sinC，BC＝2sinA， 則AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(180°－60°－A)＋4sinA＝ cosA＋5sinA＝2sin(A＋φ)，其中tanφ＝(φ為銳角)，故當(dāng)A＋φ＝時(shí)，AB＋2BC取最大值2. 答案：2 16．(2020·上海)在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C

11、，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為________千米． 解析：如圖，∠C＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，＝. 得AC＝. 答案： 三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分) (2020·山東)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝. (1)求的值； (2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面積S. 解：(1)由正弦定理，設(shè)＝＝＝k， 則＝＝. 所以＝ 即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB， 化簡可得si

12、n(A＋B)＝2sin(B＋C) 又A＋B＋C＝π， 所以sinC＝2sinA.因此＝2. (2)由＝2得c＝2a. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2， 得4＝a2＋4a2－4a2× 解得a＝1，從而c＝2 又因?yàn)閏osB＝，且0

13、sinA＋sinC＝cosC＋sinC＝sin＝sinB，又A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故C＋＝B， 所以A＋B＋C＝＋＋C＝π?C＝. 19．(本小題滿分12分) (2020·江蘇)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c. (1)若sin＝2cosA，求A的值； (2)cosA＝，b＝3c，求sinC的值． 解：(1)由題設(shè)知sinAcos＋cosAsin＝2cosA，從而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.因?yàn)?

14、 所以sinC＝cosA＝. 20．(本小題滿分12分) (2020·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2. (1)當(dāng)p＝，b＝1時(shí)，求a，c的值； (2)若角B為銳角，求p的取值范圍． 解：(1)由題設(shè)并利用正弦定理，得解得或 (2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accosB ＝p2b2－b2－b2cosB， 即p2＝＋cosB. 因?yàn)?0，所以

15、ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin. (1)求sinC的值； (2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求邊c的值． 解：由已知得sinC＋sin＝1－cosC， 即sin＝2sin2， 由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝， 兩邊平方得sinC＝. (2)由sin－cos＝>0，得<<， 即

16、4分) (2020·黑龍江省哈六中一模)攀巖運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)刺激而危險(xiǎn)的運(yùn)動(dòng)，如圖(1)在某次攀巖活動(dòng)中，兩名運(yùn)動(dòng)員在如圖所示位置，為確保運(yùn)動(dòng)員的安全，地面救援者應(yīng)時(shí)刻注意兩人離地面的距離，以備發(fā)生危險(xiǎn)時(shí)進(jìn)行及時(shí)救援．為了方便測量和計(jì)算，現(xiàn)如圖(2)A，C分別為兩名攀巖者所在位置，B為山的拐角處，且斜坡AB的坡角為θ，D為山腳，某人在E處測得A，B，C的仰角分別為α，β，γ，ED＝a. (1)求：BD間的距離及CD間的距離； (2)求證：在A處攀巖者距地面的距離h＝ . 解：(1)根據(jù)題意得∠CED＝γ，∠BED＝β，∠AED＝α. 在直角三角形CED中， tanγ＝，CD＝atanγ， 在直角三角形BED中，tanβ＝，BD＝atanβ. (2)證明：易得AE＝，BE＝， 在△ABE中，∠AEB＝α－β，∠EAB＝π－(α＋θ)， 正弦定理＝， 代入整理：h＝.