2020高考數(shù)學(xué) 專題練習(xí) 七 空間向量與立體幾何 理

上傳人:艷*** 文檔編號:110465443 上傳時間:2022-06-18 格式:DOC 頁數(shù):10 大?。?25.50KB
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1、高考專題訓(xùn)練七 空間向量與立體幾何 班級_______ 姓名________ 時間:45分鐘 分值:75分 總得分________ 一、選擇題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.在每小題給出的四個選項中,選出符合題目要求的一項填在答題卡上. 1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點,則sin〈,〉的值為(  ) A.          B. C. D. 解析:以D為原點,DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建系,設(shè)正方體棱長為1,則C(0,1,0),M,D1(0,0,1),N,∴=,=,∴cos〈,〉==-, ∴sin〈,〉=.故選

2、B. 答案:B 2.(2020·全國)已知直二面角α-l-β,點A∈α,AC⊥l,C為垂足,B∈β,BD⊥l,D為垂足,若AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于(  ) A. B. C. D.1 解析:由2=(++)2 =2+2+2+2·+2·+2· =1+||2+1,所以|CD|=. 過D作DE⊥BC于E,則DE⊥面ABC,DE即為D到平面ABC的距離.在Rt△BCD中,BC2=BD2+CD2=3,∴BC=.DE·BC=BD·CD,∴DE=. 答案:C 3.在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D、E、F分別是棱AB、BC、C

3、P的中點,AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為(  ) A. B. C. D. 解析:以A為原點,AB、AC、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E, F, ∴=(0,0,2),=,=,設(shè)面DEF的法向量為n=(x,y,z),則由得取z=1,則n=(2,0,1),設(shè)PA與平面DEF所成角為θ,則sinθ==,∴PA與平面DEF所成角為arcsin,故選C. 答案:C 4.如圖所示,AC1是正方體的一條體

4、對角線,點P、Q分別為其所在棱的中點,則PQ與AC1所成的角為(  ) A.    B. C.    D. 解析:如圖,設(shè)底面中心為O,在對角面ADC1B1中,取AB1的中點為T,TD∥PQ,從而TD與AC1所成的角為所求.由相似可得∠AMD=,故選D. 答案:D 5.如下圖所示,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A到平面MBD的距離是(  ) A.a B.a C.a D.a 解析:A到面MBD的距離由等積變形可得. VA-MBD=VB-AMD.易求d=a. 答案:D 6.已知平面α與β所成的二面角為80°,P為

5、α,β外一定點,過點P的一條直線與α,β所成的角都是30°,則這樣的直線有且僅有(  ) A.1條    B.2條 C.3條    D.4條 解析:如右圖,過P作α、β的垂線PC、PD,其確定的平面與棱l交于Q,過P的直線與α、β分別交于A、B兩點,若二面角為80°,AB與平面α、β成30°,則∠CPD=100°,AB與PD、PC成60°,因此問題轉(zhuǎn)化為過P點與直線PD、PC所成角為60°的直線有幾條.∵<60°,<60°,∴這樣的直線有4條. 答案:D 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡上. 7.(2020·全國)已知點E、F分別在正方體A

6、BCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于________. 解析:如圖,以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系 設(shè)正方體的邊長為3. ∴A(3,0,0),E(3,3,1),F(xiàn)(0,3,2) ∴=(0,3,1),=(-3,3,2) 設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z), ∴? 令y=1,∴z=-3,x=-1,∴n=(-1,1,-3) 又=(0,0,3)為面ABC的一個法向量,設(shè)平面AEF與平面ABC所成的二面角為θ ∴cosθ=|cos〈n,〉|== ∴sinθ==

7、 ∴tanθ==. 答案: 8.已知l1,l2是兩條異面直線,α、β、γ是三個互相平行的平面,l1、l2分別交α、β、γ于A、B、C和D、E、F,AB=4,BC=12,DF=10,又l1與α成30°角,則β與γ間的距離是________;DE=________. 解析:由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得β與γ間距離為6.由面面平行的性質(zhì)定理可得=,∴=,即=.∴DE=2.5. 答案:6 2.5 9.坐標平面上有點A(-2,3)和B(4,-1),將坐標平面沿y軸折成二面角A-Oy-B,使A,B兩點的距離為2,則二面角等于________. 解析:如圖,AD⊥BC,BC⊥C

8、D,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC,AB=2,BC=4,∴AC=2,AD=2,CD=4,∴cosθ==-=-. 答案:120° 10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則直線DA1與AC間的距離為________. 解析:設(shè)n=λ+μ+是A1D和AC的公垂線段上的向量,則n·=(λ+μ+)·(-)=μ-1=0,∴μ=1.又n·=(λ+μ+)·(+)=λ+μ=0,∴λ=-1. ∴n=-++.故所求距離為 d== ==. 答案: 三、解答題:本大題共2小題,共25分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 11.(12分)(2020·天津)如圖,在三

9、棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=. (1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值; (2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值; (3)設(shè)N為棱B1C1的中點,點M在平面AA1B1B內(nèi),且MN⊥平面A1B1C1,求線段BM的長. 解:方法一:如圖所示,建立空間直角坐標系, 點B為坐標原點,依題意得A(2,0,0),B(0,0,0),C(,-,),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(,,) (1)易得=(-,-,), =(-2,0,0). 于是cos〈,〉===. 所以異面直線AC與A1B

10、1所成角的余弦值為. (2)易知=(0,2,0),=(-,-,), 設(shè)平面AA1C1的法向量m=(x′,y′,z′), 則即 不妨令x′=,可得m=(,0,),同樣地,設(shè)平面A1B1C1的法向量n=(x,y,z),則即不妨令y=,可得n=(0,,),于是cos〈m,n〉===.從而sin〈m,n〉=. 所以二面角A-A1C1-B1的正弦值為. (3)由N為棱B1C1的中點,得N,設(shè)M(a,b,0),則=,由MN⊥平面A1B1C1, 得 即 解得故M,因此=,所以線段BM的長||=. 方法二:(1)由于AC∥A1C1.故∠C1A1B1是異面直線AC與A1B1所成的角.

11、 因為C1H⊥平面AA1B1B,又H為正方形AA1B1B的中心,AA1=2,C1H=,可得A1C1=B1C1=3. 因此cos∠C1A1B1==. 所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為. (2)連接AC1,易知AC1=B1C1,又由于AA1=B1A1,A1C1=A1C1,所以△AC1A1≌△B1C1A1,過點A作AR⊥A1C1于點R,連接B1R,于是B1R⊥A1C1,故∠ARB1為二面角A-A1C1-B1的平面角. 在Rt△A1RB1中,B1R=A1B1·sin∠RA1B1=2·=.連接AB1,在△ARB1中,AB1=4,AR=B1R,cos∠ARB1==-,從而sin∠ARB

12、1=. 所以二面角A-A1C1-B1的正弦值為. (3)因為MN⊥平面A1B1C1,所以MN⊥A1B1,取HB1中點D,連接ND.由于N是棱B1C1的中點,所以ND∥C1H且ND=C1H=.又C1H⊥平面AA1B1B,所以ND⊥平面AA1B1B,故ND⊥A1B1.又MN∩ND=N,所以A1B1⊥平面MND,連接MD并延長交A1B1于點E,則ME⊥A1B1,故ME∥AA1. 由===,得DE=B1E=,延長EM交AB于點F,可得BF=B1E=,連接NE.在Rt△ENM中,ND⊥ME,故ND2=DE·DM,所以DM==,可得FM=,連接BM,在Rt△BFM中, BM==. 12.(1

13、3分)(2020·上海)已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱,O1為A1C1與B1D1的交點. (1)設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為α,二面角A-B1D1-A1的大小為β.求證:tanβ=tanα; (2)若點C到平面AB1D1的距離為,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高. 解:設(shè)正四棱柱的高為h. (1)證明:連接AO1,AA1⊥底面A1B1C1D1于A1,∴AB1與底面A1B1C1D1所成的角為∠AB1A1,即∠AB1A1=α.∵AB1=AD1,O1為B1D1中點, ∴AO1⊥B1D1,又A1O1⊥B1D1, ∴∠AO1A1是二面角A-B1D1-A1的平面角,即∠AO1A1=β ∴tanα==h,tanβ==h=tanα. (2)建立如圖空間直角坐標系,有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,1,h) =(1,0,-h(huán)),=(0,1,-h(huán)),=(1,1,0) 設(shè)平面AB1D1的一個法向量為n=(x,y,z), ∵?, 即z=1,得n=(h,h,1) ∴點C到平面AB1D1的距離為d===,則h=2.

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