2020高考數(shù)學 專題練習 二十二三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、概率與統(tǒng)計型解答題 理

上傳人:艷*** 文檔編號:110465710 上傳時間:2022-06-18 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?59KB
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1、高考專題訓練二十二 三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、概率與統(tǒng)計型解答題 班級_______ 姓名_______ 時間:45分鐘 分值:50分 總得分________ 1.(12分)(2020·廣東卷)已知函數(shù)f(x)=2sin,x∈R. (1)求f的值; (2)設α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值. 分析:本題考查運用三角公式化簡求值.(1)f(x)的解析式已給出,求f即可;(2)先化簡f=,f(3β+2π)=,再結(jié)合α,β∈求cosα與sinβ,代入即得cos(α+β)的值. 解:(1)∵f(x)=2sin, ∴f=2sin=2sin=. (2)∵

2、α,β∈,f=,f(3β+2π)=, ∴2sinα=,2sin=,即sinα=,cosβ=, ∴cosα=,sinβ=, ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=. 2.(12分)(2020·重慶卷)如圖,在四面體ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°. (1)若AD=2,AB=2BC,求四面體ABCD的體積; (2)若二面角C-AB-D為60°,求異面直線AD與BC所成角的余弦值. 分析:本小題主要考查面面垂直的性質(zhì)、四面體的體積計算公式、二面角的意義與異面直線所成的角的意義及求法.在具體處理過程中,可圍繞線面垂直的

3、性質(zhì)定理去考慮,從而添加相關(guān)的輔助線,由此求得相關(guān)幾何體的體積;在求異面直線所成的角的過程中,注意根據(jù)異面直線所成角的意義,考慮平移其中一條或兩條直線,從而將問題轉(zhuǎn)化為求兩條相交直線的夾角問題.也可考慮通過建立坐標系的方式解決相關(guān)問題. 解:(1)如圖所示,設F為AC中點,連接FD,由于AD=CD,所以DF⊥AC.又由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,即DF是四面體ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=. 在Rt△ABC中,因AC=2AF=2,AB=2BC,由勾股定理易知BC=,AB=. 故四面體ABCD的體積V=·S△ABC·DF=×

4、××=. (2)解法一:如圖所示,設G,H分別與邊CD,BD的中點,則FG∥AD,GH∥BC,從而∠FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補角. 設E為邊AB的中點,則EF∥BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB.又由(1)知DF⊥平面ABC,故由三垂線定理知DE⊥AB.所以∠DEF為二面角C-AB-D的平面角.由題設知 ∠DEF=60°. 設AD=a,則DF=AD·sin∠CAD=. 在Rt△DEF中,EF=DF·cot∠DEF=·=a, 從而GH=BC=EF=a. 因Rt△ADE≌△BDE,故BD=AD=a, 從而,在Rt△BDF中,F(xiàn)H=BD=. 又FG=AD=,從而在△F

5、GH中,因FG=FH,由余弦定理得 cos∠FGH===. 因此,異面直線AD與BC所成角的余弦值為. 解法二:如圖所示,過F作FM⊥AC,交AB于M,已知AD=CD,平面ABC⊥平面ACD,易知FC,F(xiàn)D,F(xiàn)M兩兩垂直.以F為原點,射線FM,F(xiàn)C,F(xiàn)D分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系F-xyz. 不妨設AD=2,由CD=AD,∠CAD=30°,易知點A,C,D的坐標分別為A(0,-,0),C(0,,0),D(0,0,1),則=(0,,1). 顯然向量k=(0,0,1)是平面ABC的一個法向量. 已知二面角C-AB-D為60°,故可取平面ABD的一個單位法向量n=

6、(l,m,n),使得〈n,k〉=60°,從而n=. 由n⊥,有m+n=0,從而m=-. 由l2+m2+n2=1,得l=±. 設點B的坐標為B(x,y,0),由⊥,n⊥,取l=,有解之得, 或(舍去). 易知l=-與坐標系的建立方式不合,舍去. 因此點B的坐標為.所以 =.從而cos〈,〉===-. 故異面直線AD與BC所成的角的余弦值為. 3.(13分)(2020·浙江卷)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)證明:AP⊥BC; (2)在線段AP上是否存在點M

7、,使得二面角A-MC-B為直二面角?若存在,求出AM的長;若不存在,請說明理由. 分析:此題主要考查了線線位置關(guān)系和二面角的求解,對(1)問線線垂直的證明易入手,利用線面垂直即可進行證明;對(2)問可采用空間直角坐標向量法進行處理;解題時對(2)問要注意恰當建立坐標系,恰當設參數(shù),從而有效快速求解. 解:方法一:(1)如圖,以O為原點,以射線OP為z軸的正半軸,建立空間直角坐標系O-xyz. 則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4), =(0,3,4),=(-8,0,0),由此可得·=0,所以⊥,即AP⊥BC. (2)設=λ,λ≠

8、1,則=λ(0,-3,-4). =+=+λ= (-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ), =(-4,5,0),=(-8,0,0). 設平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1), 平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2). 由 得 即可取n1=. 由即 得可取n2=(5,4,-3). 由n1·n2=0,得4-3·=0, 解得λ=,故AM=3. 綜上所述,存在點M符合題意,AM=3. 方法二:(1)由AB=AC,D是BC的中點,得AD⊥BC. 又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC. 因為PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD, 故

9、BC⊥PA. (2)如圖,在平面PAB內(nèi)作BM⊥PA于M,連接CM. 由(1)中知PA⊥BC,得AP⊥平面BMC. 又AP?平面APC,所以平面BMC⊥平面APC. 在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=. 在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2, 在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2, 所以PB2=PO2+OD2+DB2=36,得PB=6. 在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5. 又cos∠BPA==, 從而PM=PBcos∠BPA=2,所以AM=PA-PM=3. 綜上所述,存在點M符合題意,AM=3. 4.(13分)(2

10、020·天津)學校游園活動有這樣一個游戲項目:甲箱子里裝有3個白球,2個黑球,乙箱子里裝有1個白球,2個黑球, 這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球,若摸出的白球不少于2個,則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱). (1)求在1次游戲中; (ⅰ)摸出3個白球的概率; (ⅱ)獲獎的概率; (2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望E(X). 解:(1)(ⅰ)設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai=(i=0,1,2,3),則 P(A3)=·=. (ⅱ)設“在1次游戲中獲獎”為事件B,則B=A2∪A3.又P(A2)=·+·=. 且A2,A3互斥,所以P(B)=P(A2)+P(A3)=+=. (2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2. P(X=0)=2=. P(X=1)=C=. P(X=2)=2=. 所以X的分布列是 X 0 1 2 P X的數(shù)學期望E(X)=0×+1×+2×=.

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