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1、第十一單元 第六節(jié)隨機數(shù)與幾何概型
一、選擇題
1．在區(qū)間[0,3]上任意取一點，則此點坐標(biāo)不大于2的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 依題意，此點坐標(biāo)不大于2的區(qū)間為[0,2]，區(qū)間長度為2，而區(qū)間[0,3]的長度為3，所以此點坐標(biāo)不大于2的概率是.
【答案】 C
2．(精選考題·寧波質(zhì)檢)在長為10 cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于36 cm2與49 cm2之間的概率為( )
A. B. C. D.
【解析】 點P的區(qū)域長度為10 cm，所求事件構(gòu)成的區(qū)域長度為6 cm到7 cm，其長度為1 cm
2、，∴P＝.
【答案】 A
3.
如圖是一半徑為2的扇形(其中扇形中心角為90°)，在其內(nèi)部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為( )
A. B.
C. D．1－
【解析】 扇形面積S＝×π×22＝π，弓形面積S1＝π－×22＝π－2，∴P＝＝1－.
【答案】 D
4.
如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在銳角∠xOT內(nèi)的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 OA等可能地落在平面內(nèi)，構(gòu)成區(qū)域為(0°，360°)，所求事件區(qū)域為(0°，60°)，∴P＝＝.
【答案】 D
5．在長方體AB
3、CD－A1B1C1D1內(nèi)任意取點，則該點落在四棱錐B1－ABCD內(nèi)的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 不妨設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則該點落在四棱錐B1－ABCD內(nèi)的概率為
P＝＝＝.
【答案】 B
6．平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 如右圖所示，任取一組平行線進(jìn)行研究，由于圓心落在平行線間任一點是等可能的且有無數(shù)種情況，故本題為幾何概型．因為圓的半徑為1 cm，所以圓心所在的線段長
4、度僅能為1 cm，所以P＝.
【答案】 B
7．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為( )
A. B．1－
C. D．1－
【解析】 如圖所示，點構(gòu)成的區(qū)域為長方形ABCD，所求事件構(gòu)成的區(qū)域為圖中陰影部分，∴P＝＝1－.
【答案】 B
二、填空題
8.
右圖的矩形長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計出陰影部分的面積為________．
【解析】?。?，∴S＝4.6.
【答案】 4.6
9.
在半徑為1的圓上隨機地
5、取兩點，連成一條弦，則其長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率是________．
【解析】 設(shè)A＝“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，取圓內(nèi)接等邊三角形BCD的頂點B為弦的一個端點，當(dāng)另一個點在劣弧上時，|BE|>|BC|，而劣弧的弧長是圓的周長的.
∴P＝.
【答案】
10．從[1,10]中任取兩個實數(shù)，兩數(shù)之和大于10的概率是________．
【解析】 設(shè)兩數(shù)為x，y，則(x，y)滿足的區(qū)域為如圖正方形ABCD，∵x＋y>10，
∴所求事件(x，y)滿足的區(qū)域為
如圖多邊形BCDEF，∴P＝＝.
【答案】
三、解答題
11．假設(shè)小明家訂了一份報紙，送報人可能在早
6、上6：30至7：30之間把報紙送到小明家，小明的父親離開家去工作的時間在早上7：00到8：00之間，問小明的父親在離開家前能得到報紙的概率是多少？
【解析】 設(shè)事件A＝“小明的父親離開家前能得到報紙”，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x和y分別表示報紙送到和父親離開家的時間，則父親能得到報紙的充要條件是x≤y，而(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為1的正方形ABCD，而能得到報紙的所有可能結(jié)果由圖中陰影部分表示．
則S陰＝12－××＝，S正方形ABCD＝1，
∴P＝＝＝.
12．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0,0≤a≤2,1≤b≤3}．
(1)若a，b∈
7、N，求A∩B≠?的概率；
(2)若a，b∈R，求A∩B≠?的概率；
【解析】 (1)因為a，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共9組．
令函數(shù)f(x)＝ax＋b.2x－1，x∈[－1,0]，
則f′(x)＝a＋bln2·2x.
因為a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)＞0，
即f(x)在[－1,0]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
f(x)在[－1,0]上的最小值為－a＋－1.
要使A∩B≠?，只需－a＋－1＜0，即2a－b＋2＞0.
所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7組．
所以A∩B≠?的概率為.
(2)
因為a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)對應(yīng)的區(qū)域為邊長為2的正方形(如圖)，面積為4.
由(1)可知，要使A∩B＝?，
只需f(x)min＝－a＋－1≥0?2a－b＋2≤0，所以滿足A∩B＝?的(a，b)對應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影部分，所以S陰影＝×1×＝.
所以A∩B＝?的概率為P＝＝.
2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十一單元第六節(jié)隨機數(shù)與幾何概型
