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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
1.等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝3，前n項和為Sn，{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an與bn；
(2)求＋＋…＋.
解：(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正數(shù)，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依題意有
解得
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2) Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1＋－－)
＝－.
2.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已
2、知對任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值；
(2)當(dāng)b＝2時，記bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)由題意，Sn＝bn＋r，
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，
由于b＞0且b≠1，
所以當(dāng)n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，
即＝b，解得r＝－1.
(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，
所以bn＝＝.
Tn＝＋＋＋…＋.
Tn＝＋＋…＋＋，
3、
兩式相減得Tn＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－，
故Tn＝－－＝－.
創(chuàng)新題型
1.數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋an－1＋2n－1＝0(n∈N*且n≥2).
(1)求a2、a3的值；
(2)證明：數(shù)列{an＋n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
2 設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系式 3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…)
(1)求證 數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}，使b1=1,bn=f()(n
4、=2,3,4…)，求數(shù)列{bn}的通項bn；
(3)求和 b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
參考答案
1.【解析】(1)∵a1＝3，an＋an－1＋2n－1＝0(n∈N*且n≥2)，
∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝1.
(2)∵＝
＝＝－1(n≥2)，
∴數(shù)列{an＋n}是首項為a1＋1＝4，公比為－1的等比數(shù)列，
∴an＋n＝4×(－1)n－1，
即an＝4×(－1)n－1－n，
當(dāng)n＝1時，a1＝4－1＝3，
∴{an}的通項公式是an＝4×(－1)n－
5、1－n(n∈N*).
(3)∵an＝4×(－1)n－1－n(n∈N*)，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋
[4(－1)n－1－n]
＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n－1]－(1＋2＋3＋…＋n)
＝2[1－(－1)n]－.
7 【解析】 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t
∴a2=
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0
∴,n=2,3,4…,
所以{an}是一個首項為1公比為的等比數(shù)列；
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn－1
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