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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖.
(1)試判斷該幾何體是什么幾何體;
(2)畫(huà)出其側(cè)視圖,并求該平面圖形的面積;
(3)求出該幾何體的體積.
解:(1)正六棱錐
(2)其側(cè)視圖如圖:
其中AB=AC,AD⊥BC,
且BC的長(zhǎng)是俯視圖中正六邊形對(duì)邊的距離,即BC=a,
AD的長(zhǎng)是正六棱錐的高,即AD=a,
∴該平面圖形的面積
S=a·a=a2.
(3)V=·6·a2·a=a3.
例2 有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體,第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn).求這
2、三個(gè)球的半徑之比.
解:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑分別為R1,R2,R3.球內(nèi)切于正方體時(shí),球的直徑和正方體的棱長(zhǎng)相等,如圖1所示,AB=2R1=a,所以R1=;
球與這個(gè)正方體的各條棱相切時(shí),球的直徑與正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)相等,如圖2所示,CD=2R2=a,所以R2=;
當(dāng)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)時(shí),也即正方體內(nèi)接于球,此時(shí)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)均在球面上,則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑,如圖3所示,EF=2R3=a,
所以R3=.
故三個(gè)球的半徑之比為1::.
創(chuàng)新題型
1.一個(gè)正方體內(nèi)接于高為40 cm,底面半徑為30 cm的圓錐中,求正方體的棱長(zhǎng)
3、.
2.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐,截得圓臺(tái)上、下底面半徑的比是1∶4,截去的小圓錐的母線長(zhǎng)是3 cm,求圓臺(tái)的母線長(zhǎng).
3.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形, AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=2AB=4.
(1)根據(jù)已經(jīng)給出的此四棱錐的正視圖,畫(huà)出其俯視圖和側(cè)視圖;
(2)證明:平面PAD⊥平面PCD.
參考答案
1.【解析】 如圖,過(guò)正方體的體對(duì)角線作圓錐的軸截面,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,
則OC=x,∴=,
解得x=120(3-2),
∴正方體的棱長(zhǎng)為120(3-2)cm.
所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9 cm.
3.【解析】 (1)三視圖如圖所示
(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,PA?平面PAD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
又平面PAD∩平面ABCD=AD,
CD?平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.