【步步高】2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 第2講空間中的平行與垂直

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1、第2講　空間中的平行與垂直 (推薦時(shí)間：60分鐘) 一、填空題 1．設(shè)有直線m、n和平面α、β，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的命題序號(hào)是________． ①若m∥α，n∥α，則m∥n ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β ③若α⊥β，m?α，則m⊥β ④若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α 2．關(guān)于直線a、b、c，以及平面M、N，給出下列命題： ①若a∥M，b∥M，則a∥b； ②若a∥M，b⊥M，則a⊥b； ③若a∥b，b∥M，則a∥M； ④若a⊥M，a∥N，則M⊥N. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為________． 3．α、β為平面，m為直線，如果α∥β，那么“m∥α”是“

2、m∥β”的______________條件． 4．過三棱柱ABC—A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 5．如圖，若Ω是長方體ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1所得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中，正確的是________．(填上所有正確命題的序號(hào)) ①EH∥FG；②四邊形EFGH是矩形； ③Ω是棱柱；④Ω是棱臺(tái)． 6．下列命題中，m、n表示兩條不同的直線，α、β、γ表示三個(gè)不同的平面． ①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；

3、②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β； ③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ. 正確命題的序號(hào)是________． 7．設(shè)α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及平面β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(用代號(hào)表示)． 8．(2020·上海)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為________． 9．如圖，

4、AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．有以下四個(gè)命題： ①PA∥平面MOB； ②MO∥平面PAC； ③OC⊥平面PAC； ④平面PAC⊥平面PBC. 其中正確的命題是______(填上所有正確命題的序號(hào))． 10．已知m、n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列命題： ①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，則α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n?γ，則m⊥n； ③若m⊥α，α⊥β，m∥n，則n∥β； ④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n. 其中正確命題的序號(hào)是________

5、． 11．若m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中真命題的序號(hào)是________． ①若m、n都平行于平面α，則m、n一定不是相交直線； ②若m、n都垂直于平面α，則m、n一定是平行直線； ③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，則n∥β； ④若m、n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m、n互相平行． 12．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是________．

6、 二、解答題 13．如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD. (1)求證：EF∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD. 14．如圖所示，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1. (1)求證：AF⊥平面CBF； (2)設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證： OM∥平面DAF. 15．如圖(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2.E，F(xiàn)，G分別為線

7、段PC，PD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(圖(2))． (1)求證：AP∥平面EFG； (2)在線段PB上確定一點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，試給出證明． 答 案 1．①②③　2.2 3．既不充分又不必要　4.6 5．①②③　6.①④ 7．①③④?②(或②③④?①)　8. 9．②④ 10．②④ 11．② 12. 13．證明　(1)連結(jié)AC，則F是AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)， 故在△CPA中，EF∥PA， 又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF∥平面PAD. (2)∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面

8、PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PA. 又PA＝PD＝AD， ∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD. 又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD. 又∵PA?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PCD. 14．證明　(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB， ∴CB⊥平面ABEF. ∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB. 又∵AB為圓O的直徑， ∴AF⊥BF. ∴AF⊥平面CBF. (2)設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN、AN， 則MN綊CD.又AO綊CD，則MN綊AO.

9、∴四邊形MNAO為平行四邊形． ∴OM∥AN.又∵AN?平面DAF， OM?平面DAF， ∴OM∥平面DAF. 15．(1)證明　∵E、F分別是PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD∥AB. 又EF?平面PAB，AB?平面PAB， ∴EF∥平面PAB. 同理：EG∥平面PAB. ∴平面EFG∥平面PAB. 又∵AP?平面PAB， ∴AP∥平面EFG. (2)解　取PB的中點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，QD， 則PC⊥平面ADQ. 證明如下： 連結(jié)DE，EQ， ∵E、Q分別是PC、PB的中點(diǎn)， ∴EQ∥BC∥AD. ∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC， ∴PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AD， 又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC. ∴AD⊥PC. 在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中點(diǎn)． ∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ， 即PC⊥平面ADQ.