【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明跟蹤演練練習(xí)

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1、第七章 不等式、推理與證明 一、選擇題(6×5分＝30分) 1．(2020·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是(　　) A．(－3,1)∪(3，＋∞)　　　 B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 解析：f(1)＝12－4×1＋6＝3，當(dāng)x≥0時(shí)，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；當(dāng)x<0時(shí)，x＋6>3，解得－3b>0，則下列不等式中總成立的是(　　) A．a(chǎn)＋>b＋ B.> C．a(chǎn)＋>b＋ D.> 解析：∵a>b>

2、0，∴>.又∵a>b，∴a＋>b＋. 答案：A 3．(2020·諸城模擬)若2m＋4n<2，則點(diǎn)(m，n)必在(　　) A．直線(xiàn)x＋y＝1的左下方 B．直線(xiàn)x＋y＝1的右下方 C．直線(xiàn)x＋2y＝1的左下方 D．直線(xiàn)x＋2y＝1的右上方 解析：∵2m＋4n＝2m＋22n≥2， ∴2<2， 即m＋2n<1， ∴點(diǎn)(m，n)必在直線(xiàn)x＋2y＝1的左下方． 答案：C 4．(2020·黃岡調(diào)研)設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且＋＝1，則xy的最小值為(　　) A．4 B．4 C．9 D．16 解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y. ∵x，y均為正實(shí)數(shù)， ∴xy＝8＋x＋y≥8＋

3、2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立)， 即xy－2－8≥0， 可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值為16. 答案：D 5．(2020·湖北高考)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)．比如： 他們研究過(guò)圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù)；類(lèi)似地，稱(chēng)圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 解析：根據(jù)圖形的規(guī)律可知第n個(gè)三角形數(shù)為an＝，第n個(gè)正方形數(shù)為bn＝n2，由此可排除D(1 378不是平方數(shù))．將A、

4、B、C選項(xiàng)代入到三角形數(shù)表達(dá)式中檢驗(yàn)可知，符合題意的是C選項(xiàng)，故選C. 答案：C 6．(2020·山東高考)設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D．4 解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線(xiàn)ax＋by＝z(a>0，b>0)過(guò)直線(xiàn)x－y＋2＝0與直線(xiàn)3x－y－6＝0的交點(diǎn)A(4,6)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝. 答案：A 二、填空題(3×5分＝15分) 7．(2020·北京高考

5、)若函數(shù)f(x)＝則不等式|f(x)|≥的解集為_(kāi)_______． 解析：①當(dāng)x<0時(shí)，|f(x)|＝≥， 即≤－，∴－3≤x<0. ②當(dāng)x≥0時(shí)，≥， 即x≥，∴0≤x≤1. 由①②可得－3≤x≤1. 答案：{x|－3≤x≤1} 8．已知等差數(shù)列{an}中，有＝，則在等比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類(lèi)似的結(jié)論：________. 解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知， b1b30＝b2b29＝…＝b11b20， ∴＝. 答案：＝ 9．(2020·南京模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)．若a1>1，a4>3，S3≤9，則通項(xiàng)公式an＝____

6、____. 解析：由a1>1，a4>3，S3≤9， 得令x＝a1，y＝d得 在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域如圖所示．符合要求的整數(shù)點(diǎn)只有(2,1)，即a1＝2，d＝1，所以an＝2＋n－1＝n＋1. 答案：n＋1 三、解答題(共37分) 10．(12分)某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400 m的操場(chǎng)如圖所示，操場(chǎng)的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)和寬？ 解析：設(shè)中間矩形區(qū)域的長(zhǎng)，寬分別為x m，y m， 中間的矩形區(qū)域面積為S， 則半圓的周長(zhǎng)為， 因?yàn)椴賵?chǎng)周長(zhǎng)為400， 所以2x＋2×＝400，

7、即2x＋πy＝400(00， 解得a1＝1. 由S2＝a1＋a2＝(a2＋)且a2>0， 解得a2＝－1. 由S3＝a1＋a2＋a3＝(a3＋)且a3>0， 解得a3＝－. 推測(cè)an＝－. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)

8、，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立， 即ak＝－. 這時(shí)，Sk＝(ak＋) ＝[(－)＋]＝. 則由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(ak＋1＋)， 即＋ak＋1＝(ak＋1＋)，得 ak＋12＋2·ak＋1－1＝0. ∵ak＋1>0， 解得ak＋1＝－， 即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立， 由(1)，(2)可知an＝－對(duì)一切正整數(shù)n都成立． (文)(12分)(2020·遼寧沈陽(yáng))制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可能出現(xiàn)的最大盈利率分別為100%和50%，可能出現(xiàn)的最

9、大的虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資的金額不超過(guò)10萬(wàn)元． (1)為了確保資金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，請(qǐng)你給投資人設(shè)計(jì)一個(gè)投資方案，使得投資人獲得的利潤(rùn)最大； (2)求投資人資金虧損不超過(guò)1萬(wàn)元的概率． 解析：(1)設(shè)投資人分別用x萬(wàn)元、y萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，z代表盈利金額． 則z＝x＋0.5y， 由題意知作出可行域，如圖①， 易知B點(diǎn)為最優(yōu)解，解方程組 得B(4,6)． 故zmax＝4＋0.5×6＝7，即甲項(xiàng)目投資4萬(wàn)元，乙項(xiàng)目投資6萬(wàn)元能使資金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的情況下盈利最大． ①　　 　　　?、? (2)由題意可知，此題為幾何概型問(wèn)題，如圖②.

10、 P＝＝＝. 12．(13分)(2020·廣東六校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求證： (1)a>0且－2<<－1； (2)方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根． 證明：(1)因?yàn)閒(0)>0，f(1)>0， 所以c>0,3a＋2b＋c>0. 由條件a＋b＋c＝0，消去b，得a>c>0； 由條件a＋b＋c＝0，消去c，得 a＋b<0,2a＋b>0. 故－2<<－1. (2)拋物線(xiàn)f(x)＝3ax2＋2bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)，在－2<<－1的兩邊乘以－， 得<－<. 又因?yàn)閒(0)>0，f(1)>0， 而f(－)＝－<0， 所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0，－)與(－，1)內(nèi)分別有一實(shí)根． 故方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．