2020高考數(shù)學(xué) 課后作業(yè) 9-2 簡單幾何體的表面積和體積 新人教A版

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1、2020高考數(shù)學(xué)人教A版課后作業(yè)：9-2 簡單幾何體的表面積和體積 1.(2020·新課標(biāo)全國理)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa [答案]　B [解析]　 三棱柱如圖所示，由題意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的連線的中點(diǎn)O處，連接O1B、O1O、OB，其中OB即為球的半徑R，由題意知：O1B＝×＝，所以半徑R2＝2＋2＝， 所以球的表面積是S＝4πR2＝，故選B. 2.(2020·陜西文，8)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何

2、體的體積是(　　) A．2 B．1 C. D. [答案]　B [解析]　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，其直觀圖如圖所示，其體積為V＝××1×＝1. 3．(2020·北京東城區(qū))如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體．當(dāng)這個幾何體如圖(2)水平放置時，液面高度為20cm，當(dāng)這個幾何體如圖(3)水平放置時，液面高度為28cm，則這個簡單幾何體的總高度為(　　) A．29cm　　 B．30cm　 C．32cm　　 D．48cm [答案]　A [解析]　如圖(2)，設(shè)下面圓柱高

3、度為H，則上面小圓柱內(nèi)液面高度20－H，又設(shè)余下部分為h，則圖(3)中，下面圓柱高度為h＋20－H，故上面圓柱液面高度為28－(h＋20－H)＝H＋8－h(huán)，由兩圓柱內(nèi)液體體積相等得 9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h(huán))， ∴h＝9，幾何體總高度為20＋9＝29cm. [點(diǎn)評]　抓住問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)可以有效的提高解題的速度，本題中若設(shè)幾何體的總高度為H，由幾何體的總?cè)莘e一定，內(nèi)裝液體的體積一定可得：π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解題過程就簡捷多了． 4．(2020·湖南文，4)設(shè)下圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的

4、體積為(　　) A．9π＋42 B．36π＋18 C. π＋12 D. π＋18 [答案]　D [解析]　由三視圖可知，該幾何體是一個球體和一個長方體的組合體．其中，V球＝π·()3＝，V長方體＝2×3×3＝18.所以V總＝π＋18. 5．(文)(2020·河南省南陽市調(diào)研)一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為，那么這個三棱柱的體積是(　　) A．96　　 B．48　　 C．24　　 D．16 [答案]　B [解析]　已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內(nèi)切圓是球的大圓．設(shè)底面正三角形的邊長為a，球的半徑為R，則a＝2R，又

5、πR3＝，∴R＝2，a＝4，于是V＝a2·2R＝48. (理)(2020·遼寧文，11)已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，則球O的表面積等于(　　) A．4π　　　 B．3π　　　 C．2π　　　 D．π [答案]　A [解析]　 ∵AB⊥BC，∴AC為截面圓的直徑，∴AC中點(diǎn)為截面圓的圓心 設(shè)D為AC中點(diǎn)，連OD，則OD⊥平面ABC ∵SA⊥平面ABC ∴SA∥OD 連SC則SC＝＝＝2 又SB＝，BC＝，∵SC2＝SB2＋BC2 ∴∠SBC＝90°，∵∠SAC＝90°，∴SC為球O的直徑 ∵2R＝2　故R

6、＝1，∴S球＝4πR2＝4π，選A. 6．(2020·北京文，8)如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2.動點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，點(diǎn)Q是棱CD的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(tǒng)(x，y大于零)，則三棱錐P－EFQ的體積(　　) A．與x，y都有關(guān) B．與x，y都無關(guān) C．與x有關(guān)，與y無關(guān) D．與y有關(guān)，與x無關(guān) [答案]　C [解析]　設(shè)P到平面EFQ的距離為h，則VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q為CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)Q到直線EF的距離為定值，又EF＝1，∴S△EFQ為定值，而P點(diǎn)到平面EFQ的距離，即P點(diǎn)到平面A1B1CD的距離，顯

7、然與x有關(guān)與y無關(guān)，故選C. 7.(2020·湖州模擬)如下圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． [答案]　 [解析]　由展開圖可知，該多面體是正四棱錐，底面正方形的邊長為1，側(cè)棱長也為1， ∴高h(yuǎn)＝＝， ∴體積V＝×12×＝. 8．(2020·福建文，20)如下圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，且CE∥AB. (1)求證：CE⊥平面PAD； (2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積． [解析]　

8、(1)∵PA⊥底面ABCD，CE?平面ABCD ∴CE⊥PA， 又∵AB⊥AD，CE∥AB.∴CE⊥AD. 又∵PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD. (2)由(1)可知CE⊥AD. 在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1. 又∵AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四邊形ABCE為矩形． ∴S四邊形ABCD＝S矩形ABCE＋S△CDE＝AB·AE＋CE·DE ＝1×2＋×1×1＝. 又PA⊥底面ABCD，PA＝1 所以V四棱錐p－ABCD＝S四邊形ABCD×PA＝××1＝. 1.(2020·山東濟(jì)南一模)一個幾何體的三視圖如圖所示(

9、單位長度：cm)，則此幾何體的表面積是(　　) A．(80＋16)cm2 B．84cm2 C．(96＋16)cm2 D．96cm2 [答案]　A [解析]　 其直觀圖如上圖所示，由三視圖知，棱錐底面是邊長為4的正方形，高為2，棱柱與棱錐同底，高為4，因此棱錐的頂點(diǎn)到底邊的距離是＝2cm， 故該幾何體的表面積為S＝(×4×2)×4＋(4×4)×5＝80＋16(cm2)． 2．(文)(2020·北京東城區(qū)練習(xí))沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) [答案]　B [解析]　 左視圖的投射線如上圖所示，則可取平面

10、BCC1B1為投射面，點(diǎn)A、D、D1的射影依次為B、C、C1，從而線段AB1、AD1的投影依次為BB1、BC1，從左側(cè)向右看，CC1應(yīng)在BB1的左側(cè)，故選B. (理)(2020·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A．8 B. C. D. [答案]　C [解析]　由三視圖可知，該幾何體是正方體ABCD－A1B1C1D1截去三棱臺AEF－A1B1D1后，所剩的幾何體，由于正方體棱長為2， ∴所求體積V＝23－(＋2＋)×2＝. 3．一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　

11、) A．2π＋2 B．4π＋2 C．2π＋ D．4π＋ [答案]　C [解析]　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個底面直徑和高都是2的圓柱和一個底面邊長為，側(cè)棱長為2的正四棱錐疊放而成．故該幾何體的體積為V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋，故選C. 4．(2020·北京市海淀區(qū)模擬)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．5　　　　 B．4　　　　 C．3　　　　 D．2 [答案]　D [解析]　根據(jù)三視圖可知幾何體是四棱錐，其底面是上底長為1，下底長為2，高為2的直角梯形，棱錐的高為2，其體積為： V＝×[(1＋2)×2×

12、]×2＝2. 5.如下圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1.在三角形內(nèi)挖去半圓(圓心O在邊AC上，半圓分別與BC、AB相切于點(diǎn)C、M，與AC交于點(diǎn)N)，則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為______． [答案]　 [解析]　陰影部分繞AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓錐中挖去一個球，圓錐的體積V＝π×12×＝π，球體積V1＝×3＝， 故所求體積為－＝. 6．側(cè)棱長為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過點(diǎn)A作截面AEF，求截面△AEF周長的最小值． [解析]　沿側(cè)棱VA剪開，側(cè)面展開如圖，線段AA1的長為所求△AEF周長

13、的最小值，取AA1中點(diǎn)D，則VD⊥AA1，∠AVD＝60°，∴AA1＝2AD＝6. 7．(2020·安徽省淮南市高三模擬)如下圖是以正方形ABCD為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，且AB＝BC＝，AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3. (1)證明：截面四邊形EFGH是菱形； (2)求幾何體C－EFGH的體積． [解析]　(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面CDHG， 且平面EFGH分別交平面ABFE、平面CDHG于直線EF、GH，所以EF∥GH.同理，F(xiàn)G∥EH. 因此，四邊形EFGH為平行四邊形． 因?yàn)锽D⊥AC，而AC為EG在底面ABCD上的射

14、影， 所以EG⊥BD. 因?yàn)锽F綊DH，所以FH∥BD. 因此，F(xiàn)H⊥EG. 所以四邊形EFGH是菱形． (2)解：連接CE、CF、CH、CA， 則VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE，其中V是幾何體的體積，∵AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3且?guī)缀误w是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分， 所以該幾何體的體積為 V＝()2×2＝4， VC－ABFE＝×S四邊形ABFE×BC ＝×(AE＋BF)×AB×BC ＝×(1＋2)××＝1. 同理，得VC－ADHE＝1， 所以，VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE＝4－1－1＝2， 即幾何體C

15、－EFGH的體積為2. 1．棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)都在球O的表面上，E、F分別是棱AA1、DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長為(　　) A. 　 　 B．1 　 　 C．1＋ 　 　 D. [答案]　D [解析]　由條件知球O半徑為，球心O到直線EF的距離為，由垂徑定理可知直線EF被球O截得的線段長d＝2＝. 2．(2020·吉林省調(diào)研)如圖是某幾何體的三視圖，其中正(主)視圖是斜邊長為2a的直角三角形，側(cè)(左)視圖是半徑為a的半圓，則該幾何體的體積是(　　) A.πa3 B.πa3 C.πa3 D.2πa3 [答案]

16、　A [解析]　由側(cè)(左)視圖半圓可知，該幾何體與圓柱、圓錐、球有關(guān)，結(jié)合正(主)視圖是一個直角三角形知該幾何體是沿中心軸線切開的半個圓錐將剖面放置在桌面上如圖， 由條件知，圓錐的母線長為2a，底面半徑為a， 故高h(yuǎn)＝＝a， 體積V＝×＝πa3. 3．(2020·江西文，18)如圖在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P為AB邊上一動點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD. (1)當(dāng)棱錐A′－PBCD的體積最大時，求PA的長； (2)若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為A′C的中點(diǎn)，求證：A′B⊥DE. [解析]　(1)令PA＝

17、x(00，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(，2)時，f ′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． 所以，當(dāng)x＝時，f(x)取得最大值， 即當(dāng)VA′－PBCD最大時，PA＝. (2)設(shè)F為A′B的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E，則有 EF綊BC，PD綊BC，∴EF綊PD， ∴四邊形EFPD為平行四邊形，∴DE∥PF. 又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.