歷年高考數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)歸納 2020年 第七章 不等式

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1、第一節(jié) 簡(jiǎn)單不等式及其解法 一、選擇題 1.（2020安徽卷理）下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是 A.p:＞b+d , q:＞b且c＞d B.p:a＞1,b>1 q:的圖像不過(guò)第二象限 C.p: x=1, q: D.p:a＞1, q: 在上為增函數(shù) 答案 A 解析 由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可舉反例。選A。 2.（2020安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 答

2、案 A 解析 易得時(shí)必有.若時(shí)，則可能有，選A。 3.（2020四川卷文）已知，，，為實(shí)數(shù)，且＞.則“＞”是“－＞－”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 答案 B 解析 顯然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，則同向不等式相加得＞ 即由“－＞－”“＞” 4.（2020天津卷理）,若關(guān)于x 的不等式＞的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則 A. B. C. D. 答案 C

3、5.（2020四川卷理）已知為實(shí)數(shù)，且。則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C．充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)定位】本小題考查不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)單邏輯，基礎(chǔ)題。（同文7） 答案 B 解析 推不出；但，故選擇B。 解析2：令，則；由可得，因?yàn)椋瑒t，所以。故“”是“”的必要而不充分條件。 6.（2020重慶卷理）不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 答案 A 解析 因?yàn)閷?duì)任意x恒成

4、立，所以 二、填空題 7.（2020年上海卷理）若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0， 則x滿(mǎn)足的條件是________________________ . 答案 解析 依題意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： 三、解答題 8.（2020江蘇卷）(本小題滿(mǎn)分16分) 按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣(mài)出該產(chǎn)品的單 價(jià)為元，則他的滿(mǎn)意度為；如果他買(mǎi)進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿(mǎn)意度 為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣(mài)出或買(mǎi)進(jìn))的滿(mǎn)意度分別為和，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿(mǎn)意度為.

5、 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的 單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買(mǎi)進(jìn)A與 賣(mài)出B的綜合滿(mǎn)意度為，乙賣(mài)出A與買(mǎi)進(jìn)B的綜合滿(mǎn)意度為 (1)求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=； (2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿(mǎn)意度均最大？最 大的綜合滿(mǎn)意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿(mǎn)意度為，試問(wèn)能否適當(dāng)選取、的值，使得和 同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由。 解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽 象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力。滿(mǎn)分16分。

6、 (1) 當(dāng)時(shí)，, , = （2）當(dāng)時(shí)， 由， 故當(dāng)即時(shí)， 甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿(mǎn)意度為。 （3）（方法一）由（2）知：= 由得：， 令則，即：。 同理，由得： 另一方面， 當(dāng)且僅當(dāng)，即=時(shí)，取等號(hào)。 所以不能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立。 第二節(jié) 基本不等式 一、 選擇題 1.（2020天津卷理）設(shè)若的最小值為 A . 8 B . 4 C. 1 D. 考點(diǎn)定位 本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的

7、互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力。 答案 C 解析 因?yàn)?，所以? ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選擇C 2.（2020重慶卷文）已知，則的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．5 答案 C 解析 因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，且 ，即時(shí)，取“=”號(hào)。 二、填空題 3.（2020湖南卷文）若，則的最小值為 . 答案 2 解析 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 三、解答題 4.（2020湖北卷文）（本小題滿(mǎn)分12分） 圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修）

8、，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x(單位：元)。 （Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)： （Ⅱ）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。 解：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m 則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ (II) .當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號(hào)成立. 即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.

9、 第三節(jié) 不等式組與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃 一、選擇題 x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 1. (2020山東卷理)設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件 ， 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值為12， 則的最小值為 ( ). A. B.

10、 C. D. 4 答案 A 解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線(xiàn)ax+by= z（a>0，b>0） 過(guò)直線(xiàn)x-y+2=0與直線(xiàn)3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí), 目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A. 【命題立意】:本題綜合地考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.要求能準(zhǔn)確地畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答. 2.（2020安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)

11、域被直線(xiàn)分為面積相等的兩部分，則的值是 A. B. C. D. 答案 B A x D y C O y=kx+ 解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分△ABC 由得A（1，1），又B（0，4），C（0，） ∴△ABC=，設(shè)與的 交點(diǎn)為D，則由知，∴ ∴選A。 3.（2020安徽卷文）不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積等于 A. B. C. D. 解析 由可得，故陰 =，選C。 答案 C 4.（2020四川卷文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲

12、產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元。該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是 A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元 答案 D （3，4） （0，6） O （，0） 9 13 解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料 甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸

13、 3 則有： 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證知： 當(dāng)＝3，＝5時(shí)可獲得最大利潤(rùn)為27萬(wàn)元，故選D 5.（2020寧夏海南卷理）設(shè)x,y滿(mǎn)足 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無(wú)最大值 C.有最大值3，無(wú)最小值 D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值 答案 B 解析 畫(huà)出可行域可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，，但無(wú)最大值。選B. 6.（2020寧夏海南卷文）設(shè)滿(mǎn)足則 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無(wú)最大值 C.有最大值3，無(wú)最小值 D

14、.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值 答案 B 解析 畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫(huà)出y＝－x的圖象，當(dāng)它的平行線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（2,0）時(shí)，z取得最小值，最小值為：z＝2，無(wú)最大值，故選.B 7.(2020湖南卷理)已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓 在區(qū)域D內(nèi) 的弧長(zhǎng)為 [ B] A . B. C. D.

15、答案 B 解析 解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)即為所求，易知圖中兩直線(xiàn)的斜率分別是，所以圓心角即為兩直線(xiàn)的所成夾角，所以，所以，而圓的半徑是2，所以弧長(zhǎng)是，故選B現(xiàn)。 8.（2020天津卷理）設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件：.則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為 A.6 B.7 C.8 D.23 答案 B 【考點(diǎn)定位】本小考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。 解析 畫(huà)出不等式表示的可行域，如右圖， 讓目標(biāo)函數(shù)表示直線(xiàn)在可行域上平移，知在點(diǎn)B自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組得，所以，故選擇B。 9.（2020四川卷理）某

16、企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B 原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是 A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元 答案 D 【考點(diǎn)定位】本小題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。（同文10） 解析 設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤(rùn)最大，故本題即 已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最大

17、 值，可求出最優(yōu)解為，故，故選 擇D。 10.（2020福建卷文）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案 D 解析 如圖可得黃色即為滿(mǎn)足 的直線(xiàn)恒過(guò)（0，1），故看作直線(xiàn)繞點(diǎn)（0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a=-5時(shí)，則可行域不是一個(gè)封閉區(qū)域，當(dāng)a=1時(shí)，面積是1；a=2時(shí)，面積是；當(dāng)a=3時(shí)，面積恰好為2，故選D. 二、填空題 11.（2020浙江理）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組則的最

18、小值是 ． 答案 4 解析 通過(guò)畫(huà)出其線(xiàn)性規(guī)劃，可知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)， 12.（2020浙江卷文）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組則的最小 是 ． 【命題意圖】此題主要是考查了線(xiàn)性規(guī)劃中的最值問(wèn)題，此題的考查既體現(xiàn)了正確畫(huà)線(xiàn)性區(qū)域的要求，也體現(xiàn)了線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)最值求解的要求 解析 通過(guò)畫(huà)出其線(xiàn)性規(guī)劃，可知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)， 13.（2020北京文）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最大值為 . 答案 9 解析：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 如圖，當(dāng)時(shí)， 為最大值.

19、 故應(yīng)填9. 14.（2020北京卷理）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最小值為_(kāi)_________. 答案 解析 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃方面 的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算 的考查. 如圖，當(dāng)時(shí)， 為最小值. 故應(yīng)填. 15.(2020山東卷理)不等式的解集為 . 答案 解析 原不等式等價(jià)于不等式組①或② 或③不等式組①無(wú)解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為. 16.(2020山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類(lèi)產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)

20、產(chǎn)品5件和B類(lèi)產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品6件和B類(lèi)產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品50件,B類(lèi)產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為_(kāi)_________元. 答案 2300 解析 設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費(fèi)為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類(lèi)產(chǎn)品的情況為下表所示: 產(chǎn)品 設(shè)備 A類(lèi)產(chǎn)品 (件)(≥50) B類(lèi)產(chǎn)品 (件)(≥140) 租賃費(fèi) (元) 甲設(shè)備

21、 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則滿(mǎn)足的關(guān)系為即:, 作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)過(guò)兩直線(xiàn)的交點(diǎn)(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元. 【命題立意】:本題是線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,需要通過(guò)審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線(xiàn)性約束條件,寫(xiě)出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題.. 17.（2020上海卷文） 已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足 則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是_______. 答案 －9 解析 畫(huà)出滿(mǎn)足不等式組的可行域如右圖，目標(biāo)函數(shù)化為：－z，畫(huà)直線(xiàn)及其平行線(xiàn)，當(dāng)此直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，－z的值最大，z的值最小，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3,6），所以，z的最小值為：3－2×6＝－9。