廣東省2020年高考數學第二輪復習 選修4—4 坐標系與參數方程 文

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1、選修4—4　坐標系與參數方程 真題試做 1．(2020·上海高考，理10)如圖，在極坐標系中，過點M(2,0)的直線l與極軸的夾角α＝.若將l的極坐標方程寫成ρ＝f(θ)的形式，則f(θ)＝__________. 2．(2020·廣東高考，文14)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數方程分別為和(t為參數)，則曲線C1和C2的交點坐標為__________． 3．(2020·江西高考，理15)曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為__________． 4．(2020·課標全國高考，理23)已

2、知曲線C1的參數方程是(φ為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ＝2.正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為. (1)求點A，B，C，D的直角坐標； (2)設P為C1上任意一點，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍． 5．(2020·遼寧高考，文23)在直角坐標系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)； (2)求圓C1與

3、C2的公共弦的參數方程． 考向分析 從近幾年的高考情況看，該部分主要有三個考點：一是平面坐標系的伸縮變換；二是極坐標方程與直角坐標方程的互化；三是極坐標方程與參數方程的綜合應用．對于平面坐標系的伸縮變換，主要是以平面直角坐標系和極坐標系為平臺，考查伸縮變換公式的應用，試題設計大都是運用坐標法研究點的位置或研究幾何圖形的形狀．對于極坐標方程與直角坐標方程的互化，是高考的重點和熱點，涉及到直線與圓的極坐標方程，從點與直線、直線與圓的位置關系等不同角度考查，研究求距離、最值、軌跡等常規(guī)問題．極坐標方程與參數方程的綜合應用，主要是以直線、圓和圓錐曲線的參數方程為背景，轉化為普通方程，從而進一步判斷

4、位置關系或進行有關距離、最值的運算． 預計2020年高考中，本部分內容主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數方程與普通方程的互化，考查簡單曲線的極坐標方程和參數方程，試題多以填空題、解答題的形式呈現，屬于中檔題． 熱點例析 熱點一　平面坐標系的伸縮變換 【例1】在同一平面直角坐標系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換． 規(guī)律方法 1.平面坐標系的伸縮變換對圖形的變化起到了一個壓縮或拉伸的作用，如三角函數圖象周期的變化． 2．設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ

5、為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換． 變式訓練1 在同一平面直角坐標系中，經過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2x′2＋8y′2＝1，則曲線C的方程為(　　)． A．50x2＋72y2＝1 B．9x2＋100y2＝1 C．25x2＋36y2＝1 D．x2＋y2＝1 熱點二　極坐標方程與直角坐標方程的互化 【例2】在極坐標系中，已知圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實數a的值． 規(guī)律方法 1.直角坐標和極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位，設M是平面內任意一點，它的

6、直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ且ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)． 這就是直角坐標和極坐標的互化公式． 2．曲線的極坐標方程的概念：在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0就叫做曲線C的極坐標方程． 變式訓練2 圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經過圓O1，圓O2兩個交點的直線的直角坐標方程． 熱點三　參數方程與普通

7、方程的互化 【例3】把下列參數方程化為普通方程： (1) (2) 規(guī)律方法 1.參數方程部分，重點還是參數方程與普通方程的互化，主要是將參數方程消去參數化為普通方程． 2．參數方程與普通方程的互化：參數方程化為普通方程的過程就是消參過程，常見方法有三種： ①代入法：利用解方程的技巧求出參數t，然后代入消去參數； ②三角法：利用三角恒等式消去參數； ③整體消元法：根據參數方程本身的結構特征，從整體上消去參數． 化參數方程為普通方程F(x，y)＝0：在消參過程中注意變量x，y取值范圍的一致性，必須根據參數的取值范圍，確定f(t)和g(t)的值域即x，y的取值范圍． 變式訓練3

8、 把下列參數方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線： (1)(t為參數)； (2)(θ為參數)． 熱點四　極坐標方程與參數方程的綜合應用 【例4】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為(α為參數)．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos＝2.點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值． 規(guī)律方法 如果直接由曲線的極坐標方程看不出曲線是什么圖形，往往先將曲線的極坐標方程化為相應的直角坐標方程，再通過直角坐標方程判斷出曲線是什么圖形． 變式訓練4 在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數方

9、程為(α為參數)． (1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l的位置關系； (2)設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． 1．(2020·廣東江門調研，文15)已知在極坐標系下，點A，B，O是極點，則△AOB的面積等于__________． 2．設直線的參數方程為(t為參數)，則其斜截式方程為__________． 3．(2020·廣東梅州中學三模，15)在極坐標系中，若過點A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cos θ于A，B兩點，則|AB|＝__________.

10、 4．(2020·北京豐臺三月模擬，11)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是(t為參數)．以O為極點，x軸正方向為極軸的極坐標系中，圓C的極坐標方程是ρ2－4ρcos θ＋3＝0.則圓心到直線的距離是__________． 5．(2020·廣東肇慶二模，文14)在極坐標系中，曲線ρ＝2與cos θ＋sin θ＝0(0≤θ≤π)的交點的極坐標為__________． 6．(2020·廣東深圳第二次調研，文15)在極坐標系中，已知直線l：ρ(sin θ－cos θ)＝a把曲線C：ρ＝2cos θ所圍成的區(qū)域分成面積相等的兩部分，則常數a的值是__________． 7．(2020

11、·廣東茂名二模，文14)已知曲線C的參數方程為(θ為參數)，則曲線C上的點到直線x＋y＋2＝0的距離的最大值為__________． 參考答案 命題調研·明晰考向 真題試做 1.　解析：如圖所示，根據正弦定理，有＝，∴ρ＝. 2．(2,1)　解析：由C1得x2＋y2＝5①，且 由C2得x＝1＋y②， ∴由①②聯立得 3．ρ＝2cos θ 4．解：(1)由已知可得A， B， C， D， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． (2)設P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2， 則S＝16cos2φ

12、＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因為0≤sin2φ≤1，所以S的取值范圍是[32,52]． 5．解：(1)圓C1的極坐標方程為ρ＝2， 圓C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ. 解得ρ＝2，θ＝±， 故圓C1與圓C2交點的坐標為，. 注：極坐標系下點的表示不唯一． (2)方法一：由得圓C1與C2交點的直角坐標分別為(1，)，(1，－)． 故圓C1與C2的公共弦的參數方程為－≤t≤. (或參數方程寫成－≤y≤) 方法二：將x＝1代入得ρcos θ＝1， 從而ρ＝. 于是圓C1與C2的公共弦的參數方程為－≤θ≤. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】

13、解：設變換為代入第二個方程，得2λx－μy＝4與x－2y＝2比較，將其變成2x－4y＝4，比較系數得λ＝1，μ＝4. ∴伸縮變換公式為 即直線x－2y＝2上所有點的橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的4倍可得到直線2x′－y′＝4. 【變式訓練1】 A　解析：將代入曲線方程2x′2＋8y′2＝1，得：2·(5x)2＋8·(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1. 【例2】 解：將極坐標方程化為直角坐標方程，得圓的方程x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 直線的方程為3x＋4y＋a＝0. 由題設知，圓心(1,0)到直線的距離為1， 即有＝1， 解得a＝－8或a＝2.即a的值為－

14、8或2. 【變式訓練2】 解：(1)因為圓O1和圓O2的極坐標方程分別為 ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ， 又因為ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， 所以由ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ得， ρ2＝4ρcos θ，ρ2＝－ρsin θ. 即x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0. 所以圓O1和圓O2的直角坐標方程分別為 x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0. (2)由(1)易得，經過圓O1和圓O2兩個交點的直線的直角坐標方程為4x＋y＝0. 【例3】 解：(1)由已知 由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1， 可知(x－3)2＋(y－2

15、)2＝1，這就是它的普通方程． (2)由已知，得t＝2x－2，代入y＝5＋t中， 得y＝5＋(2x－2)， 即x－y＋5－＝0就是它的普通方程． 【變式訓練3】 解：(1)由x＝1＋t，得t＝2x－2. ∴y＝2＋(2x－2)． ∴x－y＋2－＝0，此方程表示直線． (2)由得兩式平方相加得＋＝1，此方程表示橢圓． 【例4】 解：ρcos＝2化簡為ρcos θ＋ρsin θ＝4，則直線l的直角坐標方程為x＋y＝4. 設點P的坐標為(2cos α，sin α)，得P到直線l的距離d＝， 即d＝，其中cos φ＝，sin φ＝. 當sin(α＋φ)＝－1時，dmax＝2＋.

16、 【變式訓練4】解：(1)把極坐標系中的點P化為直角坐標，得P(0,4)． 因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l上． (2)因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為(cos α，sin α)， 從而點Q到直線l的距離是 d＝＝ ＝cos＋2， 由此得，當cos＝－1時，d取得最小值，且最小值為. 創(chuàng)新模擬·預測演練 1.　解析：∵∠AOB＝－＝. ∴S△AOB＝·OA·OB·sin∠AOB＝×1×3×sin＝. 2．y＝x＋3－2 3．2 4. 5.　解析：方法一：由或(舍去)，得. 方法二：由cos θ＋sin θ＝0tan θ＝－1， 因為0≤θ≤π，所以θ＝，故交點的極坐標為. 6．－1　解析：直線l：ρ(sin θ－cos θ)＝a，可化為直角坐標方程y－x＝a. 曲線C：ρ＝2cos θ，可化為直角坐標方程(x－1)2＋y2＝1. 因為l把C的面積平分，所以l過圓C的圓心(1,0)． 即得0－1＝a，即a＝－1. 7.＋1　解析：曲線C化為普通方程為(x－1)2＋y2＝1. 因為圓C到直線的最大距離是圓心到直線的距離加上半徑． 所以，dmax＝＋1＝＋1.