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1、§3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點
學習目標
1.了解函數(shù)零點的概念，領會方程的根與函數(shù)零點之間的關系；
2.掌握函數(shù)零點存在性判定定理；
3.能結合圖象求解零點問題．
學習重點難點
重點：零點的概念及存在性的判定．
難點：零點存在性的判定.
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預習教材P86知識
質疑解疑與探究
問題探究1： 函數(shù)零點的定義
問題1: 考察下列一元二次方程與對應的二次函數(shù)：
(1)方程x2－2x－3＝0與函數(shù)y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0與函數(shù)y＝x2－2x＋1;
(3)方程x2－2x＋3＝0與函數(shù)y＝x2－2x＋3.
你能列表表示
2、出方程的根，函數(shù)的圖象及圖象與x軸交點坐標嗎？
方程
x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝0
x2－2x＋3＝0
函數(shù)
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函
數(shù)
的
圖
像
方程的實數(shù)根
函數(shù)的圖像
與x軸的交點
問題2: 從表中你能得到什么結論？
問題3: 在問題2得出的結論對一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a≠0)和相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)也成立嗎？你能根據(jù)判別式的不同情況也用列表的形式加以說明嗎？
判別式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程
a
3、x2＋bx＋c＝0(a≠0)
的根
函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象
函數(shù)的圖象
與x軸的交點
問題4：一元二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標與相應一元二次方程的實數(shù)根的關系能推廣到更一般的情況嗎？即對于方程f(x)＝0與函數(shù)y＝f(x)上述結論還適應嗎？
問題5：函數(shù)y＝f(x)有零點可等價于哪些說法？
小結：函數(shù)的零點不是點，而是函數(shù)所對應的方程的根，它具有數(shù)與形的雙重意義。
問題6：你能說出函數(shù)①y＝lg x；②y＝lg(x＋1); ③y＝2x；④y＝2x－2的零點嗎？
例1 已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若a
4、c＜0，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．不確定
小結 求函數(shù)的零點或判斷零點的個數(shù)除了利用零點的定義外，還經常利用其等價的結論．
試試：函數(shù)y＝x2－4x－5的零點是( )
A．(－1,0)，(5,0) B．(－1,0) C. (5,0) D．－1和5
問題探究2：函數(shù)零點存在性定理
問題1 觀察二次函數(shù)f(x)＝x2－2x－3的圖象，發(fā)現(xiàn)這個二次函數(shù)在區(qū)間[－2,1]上有零點x＝－1，而f(－2)＞0，f(1)＜0，即f(－2)·f(1)＜0.二次函數(shù)在區(qū)間[2,4]上有零點x＝3，而
5、f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)·f(4)＜0.
由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結論？
問題2 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是間斷的，上述定理成立嗎？
問題3 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上存在零點，f(a)·f(b)<0是否一定成立？
偶
問題4 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，滿足了上述兩個條件后，函數(shù)的零點是唯一的嗎？ 還要添加什么條件可以保證函數(shù)有唯一零點？
例2 求函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的
6、零點的個數(shù)．
作出x、f(x)的對應值表和圖象如下：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
思考：由上表和圖像可知？
例3 求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數(shù)．
小結 判斷函數(shù)零點的個數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助于函數(shù)的單調性判斷零點的個數(shù)．(2)利用函數(shù)圖象判定函數(shù)零點的個數(shù)．
拓展提升與鞏固訓練
方程的根與函數(shù)的零點的關系，并給出判定方程在某個區(qū)產存在根的基本步驟．
當堂檢測
1．利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
知識的歸納總結
河北省石家莊市高中數(shù)學 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點學案 北師大版必修1
