河南省盧氏一中2020屆高考數(shù)學(xué)二輪專題《三角變換與解三角形》訓(xùn)練

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1、河南省盧氏一中2020屆高考數(shù)學(xué)二輪《三角變換與解三角形》專題訓(xùn)練 一、選擇題 1．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，則tanα的值等于(　　) A.　　　　　　　　　　B. C. D. 解析：由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝，sin2α＝，又因?yàn)棣痢?0，)，所以sinα＝.即α＝，所以tanα＝tan＝. 答案：D 2．(2020·遼寧高考)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，則＝(　　) A．2 B．2 C. D. 解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋s

2、inBcos2A＝sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA.∴＝＝. 答案：D 3．若△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA＝4sinB＝3sinC，則cosB＝(　　) A. B. C. D. 解析：依題意，結(jié)合正弦定理得6a＝4b＝3c，設(shè)3c＝12k(k>0)，則有a＝2k，b＝3k，c＝4k；由余弦定理得cosB＝＝＝. 答案：D 4．若0＜α＜，－＜β＜0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，則cos(α＋)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：對(duì)于cos(α＋)＝cos

3、[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)，[ : ] 而(＋α)∈(，)，(－)∈(，)，因此sin(＋α)＝，sin(－)＝，則cos(α＋)＝×＋×＝. 答案：C 5．已知sinβ＝msin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tanα，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．2 B. C．3 D. 解析：因?yàn)閟inβ＝msin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，也即(1－m)sin(α＋β

4、)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα，所以＝＝3，所以m＝. 答案：B 6．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，則△ABC的面積等于(　　) A. B. C. D．3 解析：∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0. 即(b＋c)·(b－2c)＝0.∴b＝2c. 又a＝，cosA＝＝， 解得c＝2，b＝4. ∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2× ＝. 答案：C 二、填空題 7．(2020·重慶高考)已知sinα＝＋cosα，且α∈(0，)，則的值為________． 解

5、析：依題意得sinα－cosα＝，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋()2＝2，故(sinα＋cosα)2＝；又α∈(0，)，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－(sinα＋cosα)＝－. 答案：－ 8．(2020·福建高考)如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC＝45°，則AD的長度等于________． 解析：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2， ∴cosC＝. ∴sinC＝；在△ADC中， 由正弦定理得，＝， ∴AD＝×＝. 答案： 9．在△ABC中，B＝60°，AC＝，則AB＋

6、2BC的最大值為________． 解析：在△ABC中，根據(jù)＝＝，得AB＝·sinC＝sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(π－C)＝4sinC＋2cosC＝2sin(C＋φ)(tanφ＝)，因此AB＋2BC的最大值為2. 答案：2 三、解答題 10．已知向量a＝(，)，b＝(cosx，sinx)，x∈(0，)． (1)若a∥b，求sinx和cos2x的值； (2)若a·b＝2cos(＋x)(k∈Z)，求tan(x＋)的值． 解：(1)∵a∥b，∴sinx＝cosx. 于是sinx＝cosx，又∵sin2x＋

7、cos2x＝1，∴cos2x＝，[ : ] 又∵x∈(0，)，∴sinx＝＝ ＝. cos2x＝2cos2x－1＝－1＝－. (2)∵a·b＝cosx＋sinx＝cossinx＋sincosx ＝sin(x＋)， 而2cos(x＋)＝2cos(2kπ＋x＋＋2π)＝2cos(x＋)(k∈Z)， 于是sin(x＋)＝2cos(x＋)，即tan(x＋)＝2. ∴tan(x＋)＝tan[(x＋)＋] ＝＝＝－3. 11．(2020·湖南高考)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC. (1)求角C的大?。? (2)求sinA－cos(B＋)

8、的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大小． 解：(1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.[ : ] 因?yàn)?＜A＜π，所以sinA＞0，從而sinC＝cosC. 又cosC≠0，所以tanC＝1，則C＝. (2)由(1)知，B＝－A. 于是sinA－cos(B＋)＝sinA－cos(π－A) ＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)． 因?yàn)?＜A＜，所以＜A＋＜. 從而當(dāng)A＋＝，即A＝時(shí)， 2sin(A＋)取最大值2. 綜上所述，sinA－cos(B＋)的最大值為2，此時(shí)A＝，B＝. 12.如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于

9、A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？ 解：由題意知AB＝5(3＋)海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°， ∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得 ＝， ∴DB＝ ＝ ＝ ＝＝10(海里)．[ : ] 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20(海里)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))． 答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．