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1、專題升級訓(xùn)練18 隨機變量及其分布列
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.已知P(ξ=1)=,P(ξ=-1)=,則D(ξ)等于( ).
A.2 B.4 C.1 D.6
2.同時擲3枚均勻硬幣,恰好有2枚正面向上的概率為( ).
A.0.5 B.0.25 C.0.125 D.0.375
3.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是( ).
A. B. C.
2、 D.
4.甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍,乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同,則甲隊獲得冠軍的概率為( ).
A. B. C. D.
5.盒中有10只螺絲釘,其中有3只是壞的,現(xiàn)從盒中隨機地抽取4只,那么概率是的事件為( ).
A.恰有1只是壞的 B.4只全是好的
C.恰有2只是好的 D.至多有2只是壞的
6.兩個實習(xí)生每人加工一個零件,加工為一等品的概率分別為和,兩個零件是否加工為一等品相互獨立,則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為( ).
A. B.
3、 C. D.
7.若X是離散型隨機變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2.又已知E(X)=,D(X)=,則x1+x2的值為( ).
A. B. C.3 D.
8.(2020·浙江寧波十校聯(lián)考,理8)用1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù),由這些五位數(shù)構(gòu)成集合M.我們把千位數(shù)字比萬位數(shù)字和百位數(shù)字都小,且十位數(shù)字比百位數(shù)字和個位數(shù)字都小的五位數(shù)稱為“五位凹數(shù)”(例:21435就是一個五位凹數(shù)).則從集合M中隨機抽取一個數(shù)恰是“五位凹數(shù)”的概率為( ).
A. B. C. D.
二、
4、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)
9.(2020·浙大附中月考,理12)已知某隨機變量ξ的概率分布列如下表,其中x>0,y>0,隨機變量ξ的方差D(ξ)=,則x+y=__________.
ξ
1
2
3
P
x
y
x
10.連續(xù)擲一枚均勻的正方體骰子(6個面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6),現(xiàn)定義數(shù)列an=Sn是其前n項和,則S5=3的概率是__________.
11.畢業(yè)生小王參加人才招聘會,分別向A,B兩個公司投遞個人簡歷.假定小王得到A公司面試的概率為,得到B公司面試的概率為p,且兩個公司是否讓其面試是獨立的.記ξ為小王得到面試的公司個數(shù).若ξ=
5、0時的概率P(ξ=0)=,則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=__________.
12.(2020·浙江高考名?!秳?chuàng)新》沖刺卷,理14)盒中裝有7個零件,其中2個是使用過的,另外5個未經(jīng)使用.從盒中隨機抽取2個零件,使用后放回盒中,記此時盒中使用過的零件個數(shù)為ξ,則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=__________.
三、解答題(本大題共4小題,共44分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
13.(本小題滿分10分)已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和
6、.
(1)求X的分布列;
(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).
14.(本小題滿分10分)(2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬考試,20)某企業(yè)舉行職工籃球投籃比賽,比賽分預(yù)賽和決賽兩部分.預(yù)賽采用如下規(guī)則:每位選手最多有5次投籃的機會,選手累計3次投籃命中或3次投籃沒命中,即終止其預(yù)賽的比賽,累計3次投籃命中者直接進(jìn)入決賽,累計3次投籃沒命中者則被淘汰.已知選手甲投籃的命中率為,選手乙投籃的命中率為.
(1)求選手甲和乙在預(yù)賽的比賽中共投籃7次的概率;
(2)設(shè)選手甲在預(yù)賽中投籃的次數(shù)為ξ,試寫出ξ的分布列,并求ξ的數(shù)學(xué)期望.
15.(本小題滿分12分)某學(xué)校舉行知識競賽,第一輪選拔共設(shè)有A、
7、B、C、D四個問題,規(guī)則如下:
①每位參加者計分器的初始分均為10分,答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分,答錯任一題減2分;
②每回答一題,計分器顯示累計分?jǐn)?shù),當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時,答題結(jié)束,淘汰出局;當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時,答題結(jié)束,進(jìn)入下一輪;當(dāng)答完四題,累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時,答題結(jié)束,淘汰出局;
③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答,直至答題結(jié)束.
假設(shè)甲同學(xué)對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.
(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率;
(2)用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E
8、ξ.
16.(本小題滿分12分)“天宮一號”的順利升空標(biāo)志著我國火箭運載的技術(shù)日趨完善.據(jù)悉,擔(dān)任“天宮一號”發(fā)射任務(wù)的是長征二號FT1火箭.為了確保發(fā)射萬無一失,科學(xué)家對長征二號FT1運載火箭進(jìn)行了170余項技術(shù)狀態(tài)更改,增加了某項新技術(shù).該項新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對其中三項不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過量化檢測.假設(shè)該項新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨立通過檢測合格的概率分別為,,,指標(biāo)甲、乙、丙檢測合格分別記4分、2分、4分,若某項指標(biāo)不合格,則該項指標(biāo)記0分,各項指標(biāo)檢測結(jié)果互不影響.
(1)求該項技術(shù)量化得分不低于8分的概率;
(2)記該項技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)為隨機變量
9、ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考答案
一、選擇題
1.C 解析:E(ξ)=1×+(-1)×=0,D(ξ)=12×+(-1)2×=1.
2.D 解析:擲3枚均勻硬幣,設(shè)正面向上的個數(shù)為X,則X服從二項分布,即X~B,∴P(X=2)=C·2·==0.375.
3.C 解析:事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是
1-P(·)=1-×=.
4.D 解析:由甲、乙兩隊每局獲勝的概率相同,知甲每局獲勝的概率為,甲要獲得冠軍有兩種情況:第一種情況是再打一局甲贏,甲獲勝概率為;第二種情況是再打兩局,第一局甲輸,第二局甲贏.則其概率為×=.故甲獲得冠軍的概率為+=.
5.C 解析:X=k表示
10、取出的螺絲釘恰有k只為好的,
則P(X=k)=(k=1,2,3,4).
∴P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.
6.B 解析:記兩個零件中恰有一個一等品的事件為A,
則P(A)=×+×=.
7.C 解析:∵E(X)=x1+x2=.
∴x2=4-2x1,D(X)=2×+2×=.
∵x1<x2,∴∴x1+x2=3.
8.B 解析:當(dāng)十位數(shù)字與千位數(shù)字排1,2兩個數(shù)字時,共有A×A=12個五位凹數(shù);當(dāng)十位數(shù)字與千位數(shù)字排1,3兩個數(shù)字時,共有2A=4個五位凹數(shù).
故集合M中共有16個五位凹數(shù).
則從集合M中隨機抽取一個數(shù)恰是“五位凹數(shù)”的概率為P==.
11、
二、填空題
9. 解析:∵x+y+x=2x+y=1,
∴E(ξ)=x+2y+3x=4x+2y=2,
則由D(ξ)=(1-2)2x+(2-2)2y+(3-2)2x=2x=,得x=,從而y=,故x+y=.
10. 解析:該試驗可看作一個獨立重復(fù)試驗,結(jié)果為-1發(fā)生的概率為,結(jié)果為1發(fā)生的概率為,S5=3即5次試驗中-1發(fā)生一次,1發(fā)生四次,故其概率為C4=.
11. 解析:由題意,得P(ξ=2)=p,P(ξ=1)=(1-p)+p=,
ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
p
由++p=1,得p=.
所以E(ξ)=0×+1×+2×p=.
12. 解析:ξ的取值為
12、2,3,4,且P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
則E(ξ)=2×+3×+4×=.
三、解答題
13.解:(1)由題意得X取3,4,5,6,且
P(X=3)==,
P(X=4)==,
P(X=5)==,
P(X=6)==.
所以X的分布列為
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=.
14.解:(1)選手甲投籃3次,而選手乙投籃4次的概率為:
××=;
選手甲投籃4次,而選手乙投籃3次的概率為:
×=.
∴選手甲和選手乙在預(yù)賽的比賽中共投
13、籃7次的概率為:
P=+=.
(2)依題意,ξ的可能取值為3,4,5,則有P(ξ=3)=3+3=,
P(ξ=4)=C2··+C2··=,
P(ξ=5)=C2·2·+C2·2·=,
因此,有
ξ
3
4
5
P
∴E(ξ)=3×+4×+5×==3.
15.解:設(shè)A,B,C,D分別為第一、二、三、四個問題.用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答正確,用Ni(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答錯誤.則Mi與Ni是對立事件(i=1,2,3,4).由題意得
P(M1)=,P(M2)=,P(M3)=,P(M4)=,
所以P(N1)=,P(N2
14、)=,P(N3)=,P(N4)=.
(1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q,
則Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4.
由于每題答題結(jié)果相互獨立,因此
P(Q)=P(M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4)
=P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4)
=P(M1)P(M2)P(M3)+P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)+P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)+P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)+P(
15、N1)P(M2)P(N3)P(M4)
=××+×××+×××+×××+×××=.
(2)由題意,隨機變量ξ的可能取值為:2,3,4.
由于每題答題結(jié)果相互獨立,
所以P(ξ=2)=P(N1N2)
=P(N1)P(N2)=,
P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)
=P(M1)P(M2)P(M3)+P(M1)P(N2)P(N3)
=××+××=,
P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)
=1--=.
因此隨機變量ξ的分布列為
ξ
2
3
4
P
所以Eξ=2×+3×+4×=.
16.解:(1)記該項新技術(shù)的三個指標(biāo)甲、乙、丙獨立
16、通過檢測合格分別為事件A,B,C,則事件“得分不低于8分”表示為ABC+AC.
∵ABC與AC為互斥事件,且A,B,C彼此獨立,
∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)=××+××=.
(2)該項新技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)ξ的取值為0,1,2,3.
∵P(ξ=0)=P()=××=,P(ξ=1)=P(A+B+C)
=××+××+××=,
P(ξ=2)=P(AB+AC+BC)
=××+××+××=,
P(ξ=3)=P(ABC)=××=,∴隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)=++==.