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1、第21講“不變量”解題
一、知識要點
一些分數(shù)的分子與分母被施行了加減變化，解答時關(guān)鍵要分析哪些量變了，哪些量沒有變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進行分析后，再轉(zhuǎn)化并解答。
二、精講精練
【例題1】將的分子與分母同時加上某數(shù)后得，求所加的這個數(shù)。
解法一：因為分數(shù)的分子與分母加上了一個數(shù)，所以分數(shù)的分子與分母的差不變，仍是18，所以，原題轉(zhuǎn)化成了一各簡單的分數(shù)問題：“一個分數(shù)的分子比分母少18，切分子是分母的，由此可求出新分數(shù)的分子和分母。”
分母：（61-43）÷（1－）＝81
分子：81×＝63
81-61＝20或63-43＝20
解法二：
2、的分母比分子多18，的分母比分子多2，因為分數(shù)的與分母的差不變，所以將的分子、分母同時擴大（18÷2=）9倍。
的分子、分母應擴大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
約分后所得的在約分前是：＝＝
所加的數(shù)是81-61＝20
答：所加的數(shù)是20。
練習1：
1、分數(shù)的分子和分母都減去同一個數(shù)，新的分數(shù)約分后是，那么減去的數(shù)是多少？
2、分數(shù)的分子、分母同加上一個數(shù)后得，那么同加的這個數(shù)是多少？
3、將這個分數(shù)的分子、分母都減去同一個數(shù)，新的分數(shù)約分后是，那么減去的數(shù)是多少？
【例題2】將一個分數(shù)的分母減去2得，如果將它的分
3、母加上1，則得，求這個分數(shù)。
解法一：因為兩次都是改變分數(shù)的分母，所以分數(shù)的分子沒有變化，由“它的分母減去2得”可知，分母比分子的倍還多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，從而將原題轉(zhuǎn)化成一個盈虧問題。
分子：（2+1）÷（－）=12
分母：12×-1＝17
解法二：兩個新分數(shù)在未約分時，分子相同。
①將兩個分數(shù)化成分子相同的分數(shù)，且使分母相差3。＝＝，＝
②原分數(shù)的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
答：這個分數(shù)為。
練習2：
1、將一個分數(shù)的分母加上2得，分母加上3得。原來的分數(shù)是多少？
2、將一個分數(shù)的分母加上3得，分母加上2得。原來的分
4、數(shù)是多少？
3、將一個分數(shù)的分母加上5得，分母加上4得。原來的分數(shù)是多少？
4、將一個分數(shù)的分母減去9得，分母減去6得。原來的分數(shù)是多少？
【例題3】在一個最簡分數(shù)的分子上加一個數(shù)，這個分數(shù)就等于。如果在它的分子上減去同一個數(shù)，這個分數(shù)就等于，求原來的最簡分數(shù)是多少。
解法一：兩個新分數(shù)在未約分時，分母相同。將這兩個分數(shù)化成分母相同的分數(shù)，即=，=。根據(jù)題意，兩個新分數(shù)分子的差應為2的倍數(shù)，所以分別想和的分子和分母再乘以2。所以
＝＝，＝＝
故原來的最簡分數(shù)是。
解法二：根據(jù)題意，兩個新分數(shù)的和等于原分數(shù)的2倍。所以
（+）÷2＝
答：原來
5、的最簡分數(shù)是。
練習3：
1、一個最簡分數(shù)，在它的分子上加一個數(shù)，這個分數(shù)就等于。如果在它的分子上減去同一個數(shù)，這個分數(shù)就等于，求這個分數(shù)。
2、一個最簡分數(shù)，在它的分子上加一個數(shù)，這個分數(shù)就等于。如果在它的分子上減去同一個數(shù)，這個分數(shù)就等于，求這個分數(shù)。
【例題4】將一個分數(shù)的分母加3得，分母加5得。原分數(shù)是多少？
解法一：兩個新分數(shù)在未約分時，分子相同。將兩個分數(shù)化成分子相同的分數(shù)，即＝，＝。根據(jù)題意，兩個新分數(shù)的分母應相差2，而現(xiàn)在只相差1，所以分別將和的分子和分母再同乘以2。則＝＝，＝＝。所以，原分數(shù)的分母是（54－3＝）51。原分數(shù)是。
解法二
6、：因為分子沒有變，所以把分子看做單位“1”。分母加3后是分子的，分母加5后是分子的，因此，原分數(shù)的分子是（5－3）÷（－）＝42。原分數(shù)的分母是42÷7×9-3=51，原分數(shù)是。
練習4：
1、一個分數(shù)，將它的分母加5得，加8得，原來的分數(shù)是多少？（用兩種方法）
2、將一個分數(shù)的分母減去3，約分后得；若將它的分母減去5，則得。原來的分數(shù)是多少？（用兩種方法做）
3、把一個分數(shù)的分母減去2，約分后等于。如果給原分數(shù)的分母加上9，約分后等于。求原分數(shù)。
【例題5】有一個分數(shù)，如果分子加1，這個分數(shù)等于；如果分母加1，這個分數(shù)就等
7、于，這個分數(shù)是多少？
根據(jù)“分子加1，這個分數(shù)等于”可知，分母比分子的2倍多2；根據(jù)“分母加1這個分數(shù)就等于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，這個分數(shù)的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，這個分數(shù)是。
練習5：
1、一個分數(shù)，如果分子加3，這個分數(shù)等于，如果分母加上1，這個分數(shù)等于，這個分數(shù)是多少？
2、一個分數(shù)，如果分子加5，這個分數(shù)等于，如果分母減3，這個分數(shù)等于，這個分數(shù)是多少？
三、課后練習
1、的分子、分母加上同一個數(shù)并約分后得，那么加上的數(shù)是多少？
2、將一個分數(shù)的分母加上2得，分母加上2得。原來的分數(shù)是多少？
3、一個分數(shù)，在它的分子上加一個數(shù)，這個分數(shù)就等于。如果在它的分子上減去同一個數(shù)，這個分數(shù)就等于，求這個分數(shù)。
4、一個分數(shù)，如果分子減1，這個分數(shù)等于；如果分母加11，這個分數(shù)等于，這個分數(shù)是多少？
小學六年級奧數(shù)題第21講“不變量”解題
