小學六年級奧數(shù)題第37講 對策問題

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1、第37講 對策問題 一、知識要點 同學們都熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚長避短”的策略，取得了勝利。 生活中的許多事物都蘊含著數(shù)學道理，人們在競賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會取得最終的勝利。 解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。 二、精講精練 【例題1】兩個人做一個移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰移走最后一根

2、火柴就算誰輸。如果開始時有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝。 先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。 設(shè)先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保證獲勝。 所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應移走7根火柴。 練習1： 1、一堆火柴40根，甲、乙兩人輪流去拿，誰拿到最后一根誰勝。每人每次可以拿1至3根，不許不拿，

3、乙讓甲先拿。問：誰能一定取勝？他要取勝應采取什么策略？ 2、兩人輪流報數(shù)，規(guī)定每次報的數(shù)都是不超過8的自然數(shù)，把兩人報的數(shù)累加起來，誰先報到88，誰就獲勝。問：先報數(shù)者有必勝的策略嗎？ 3、把1994個空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙兩人輪流移動棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，誰先移到最后一格誰勝。先移者確保獲勝的方法是什么？ 【例題2】有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者?，F(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取。你認為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？ 從結(jié)局開始，倒推上去

4、。不妨設(shè)甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時刻留下5粒棋子就行了。不妨設(shè)甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù)，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝。 練習2： 1、甲、乙兩人輪流從1993粒棋子中取走1粒或2?；?粒，誰取到最后一粒的是勝利者，你認為先取的能獲勝，還是后取的能獲勝，應采取什么策略？ 2、有1997根火柴，甲、乙兩人輪流取火柴，每人每次可取1至10根，誰能取到最后一根誰為勝利者，甲先取，乙后

5、取。甲有獲勝的可能嗎？取勝的策略是什么？ 3、盒子里有47粒珠子，兩人輪流取，每次最多取5粒，最少取1粒，誰最先把盒子的珠子取完，誰就勝利，小明和小紅來玩這個取珠子的游戲，先名先、小紅后，誰勝？取勝的策略是什么？ 【例題3】在黑板上寫有999個數(shù)：2，3，4，……，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個數(shù)（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則甲勝，否則乙勝。誰必勝？必勝的策略是什么？ 甲先擦去1000，剩下的998個數(shù)，分為499個數(shù)對：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）?？梢娒恳粚?shù)中的兩個數(shù)互質(zhì)。如果乙擦去某一對中的

6、一個，甲則接著擦去這對中的另一個，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對數(shù)、一對數(shù)地擦，最后剩下的一對數(shù)必互質(zhì)。所以，甲必勝。 練習3： 1、甲、乙兩人輪流從分別寫有1，2，3，……，99的99張卡片中任意取走一張，先取卡的人能否保證在他取走的第97張卡片時，使剩下的兩張卡片上的數(shù)一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)？ 2、兩個人進行如下游戲，即兩個人輪流從數(shù)列1，2，3，……，100，101勾去九個數(shù)。經(jīng)過這樣的11次刪除后，還剩下兩個數(shù)。如果這兩個數(shù)的差是55，這時判第一個勾數(shù)的人獲勝。問第一個勾數(shù)的人能否獲勝？獲勝的策略是什么？ 3、在黑板上寫n—1（n＞3）個數(shù)：2，3，4，…

7、…，n。甲、乙兩人輪流在黑板上擦去一個數(shù)。如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則乙勝，否則甲勝。N分別取什么值時：（1）甲必勝？（2）乙必勝？必勝的策略是什么？ 【例題4】甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)的約數(shù)，最后不能寫的人為失敗者。如果甲第一個寫，誰一定獲勝？寫出一種獲勝的方法。 這里關(guān)鍵是第一次寫什么數(shù)，總共只有10個數(shù)，可通過歸納試驗。 甲不能寫1，否則乙寫6，乙可獲勝；甲不能寫3，5，7，否則乙寫8，乙可獲勝；甲不能寫4，9，10，否則乙寫6，乙可獲勝。因此，甲先寫6或8，才有可能獲勝。 甲可以獲勝。如甲寫6，去掉6的約數(shù)1，2，3

8、，6，乙只能寫4，5，7，8，9，10這六個數(shù)中的一個，將這六個數(shù)分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當乙寫某組中的一個數(shù)，甲就寫另一個數(shù)，甲就能獲勝。 練習4： 1、甲、乙兩人輪流在黑板上寫上不超過14的自然數(shù)。書寫規(guī)則是：不允許寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)，輪到書寫人無法再寫時就是輸者?，F(xiàn)甲先寫，乙后寫，誰能獲勝？應采取什么對策？ 2、甲、乙兩人輪流從分別寫有3，4，5，……，11的9張卡片中任意取走一張，規(guī)定取卡人不能取已取過的數(shù)的倍數(shù)，輪到誰無法再取時，誰就輸。現(xiàn)甲先取，乙后取，甲能否必然獲繩？應采取的對策是什么？ 3、甲、乙兩人輪流在2004粒棋子中取走

9、1粒，3粒，5粒或7粒棋子。甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者為勝者。甲、乙兩人誰能獲勝？ 【例題5】有一個3×3的棋盤以及9張大小為一個方格的卡片如圖37-1所示，9張卡片分別寫有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個數(shù)。小兵和小強兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計算上、下兩行6個數(shù)的和；小強計算左、右兩列6個數(shù)的和，和數(shù)大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？ 如圖37-1所示，由于4個角的數(shù)是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在 A，B，C，D這4個格中的數(shù)有關(guān)。 小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數(shù)填入A或C格，盡可能將 小數(shù)填入B格或D格。

10、 由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵應先將1放在B格，如小強把10放進D格， 小兵再把9放進A格，這時不論小強怎么做，C格中一定是大于或等于3的數(shù)，因而小兵獲勝。如小強把3放進A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。 練習5： 1、在5×5的棋盤的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下對角線走一格。兩人交替走，誰為勝者。必勝的策略是什么？ 2、甲、乙兩人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是每人每次只能放一枚，硬幣不能重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對方再無處可放，誰就獲勝。如果甲先放，那么他怎樣才能取勝？ 3、兩人輪流在3×3的方格中畫“√”和“×”，規(guī)定每人每次至少畫一格，至多畫三格，所有的格畫滿后，誰畫的符號總數(shù)為偶數(shù)，誰就獲勝。誰有獲勝的策略？