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1、福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 集合與簡易邏輯教案 文
1．高考試題通過選擇題和填空題，以及大題的解集，全面考查集合與簡易邏輯的知識，題型新，分值穩(wěn)定．一般占5---10分．
2．簡易邏輯一部分的內(nèi)容在近兩年的高考試題有所出現(xiàn)，應引起注意．
【考點透視】
1．理解集合、子集、補集、交集、并集的概念.
2．了解空集和全集的意義.
3．了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義.掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合．
4．解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以
2、及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題.
5．注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時應分類討論.
【例題解析】
題型1． 正確理解和運用集合概念
理解集合的概念,正確應用集合的性質(zhì)是解此類題目的關(guān)鍵.
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，則M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
思路啟迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是實數(shù)y而不是實數(shù)對(x,y
3、)，因此M、N分別表示函數(shù)y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求兩函數(shù)值域的交集．
解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴應選D．
點評：①本題求M∩N，經(jīng)常發(fā)生解方程組
從而選B的錯誤，這是由于在集合概念的理解上，僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什么．事實上M、N的元素是數(shù)而不是點，因此M、N是數(shù)集而不是點集．②集合是由元素構(gòu)成的，認識集合要從認識元素開始，要注意區(qū)分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x
4、∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，這三個集合是不同的．
例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，則P∩Q等于（ ）
A．P B．Q C． D．不知道
思路啟迪：類似上題知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同樣Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，這樣P∩Q意義就明確了．
解：事實上，P、Q中的代表元素都是y，它們分別表示函數(shù)y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴應選B．
例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,
5、x∈R}，則必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q
思路啟迪：有的同學一接觸此題馬上得到結(jié)論P=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x2,x∈R相同，而沒有注意到構(gòu)成兩個集合的元素是不同的，P集合是函數(shù)值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物．
解：正確解法應為： P表示函數(shù)y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點組成的點集，因此P∩Q=．∴應選A．
例4（2020年安徽卷文）若，則= （ ）
A．{3} B．{1} C． D．{－1}
思路啟迪：
解：應選D．
點評：解此類題應先確定已知集合．
題型2．
6、集合元素的互異性
集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，從而導致解題的失敗，下面再結(jié)合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識．
例5. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,－ (2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，則實數(shù)的值是________．
解答啟迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性，有待于進一步考查．
當=1時，2－2＋2=1，與元素的互異性相違背，故應舍去=1．
7、
當=－1時，B={1,0,5,2,4}，與A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
當=2時，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此時A∩B={2，5}，滿足題設．
故=2為所求．
例6. 已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，則c的值是______．
思路啟迪：要解決c的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學思想，此題應根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式．
解：分兩種情況進行討論．
（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，
=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛
8、盾，故≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解．
（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，
∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
點評：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗和修正．
例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，則的值為______．
思路啟迪：由A∪B=A而推出B有四種可能，進而求出的值．
解： ∵ A∪B=A，
∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}
9、．
若B=，則令△<0得∈；
若B={1}，則令△=0得=2，此時1是方程的根；
若B={2}，則令△=0得=2，此時2不是方程的根，∴∈；
若B={1，2}則令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
綜上的值為2或3．
點評：本題不能直接寫出B={1，－1}，因為－1可能等于1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況．
題型3．要注意掌握好證明、判斷兩集合關(guān)系的方法
集合與集合之間的關(guān)系問題，是我們解答數(shù)學問題過程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的問題，因此應予以重視．反映集合與集合關(guān)系的一系列概念，都是用元素
10、與集合的關(guān)系來定義的．因此，在證明（判斷）兩集合的關(guān)系時，應回到元素與集合的關(guān)系中去．
例8.設集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，則集合A、B的關(guān)系是________．
解：任設∈A，則=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． ?、?
又任設 b∈B，則 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 ?、?
由①、②知A=B．
點評：這里說明∈B或b∈A的過程中，關(guān)鍵是先要變（或湊）出形式，然后再推理．
例9（2006年江蘇卷）若A、B、C為三個集合，
11、，則一定有（ ）
A . B . C . D .
[考查目的]本題主要考查集合間關(guān)系的運算.
解：由知，，故選A.
（2020年福建卷文）已知全集，且，，則等于 （ C?。?
A．{2} B．{5} C．{3，4} D．{2，3，4，5}
例10．（2020年遼寧卷）設集合,則滿足的集合B的個數(shù)是（ ）
A . 1 B .3 C .4 D . 8
[考查目的] 本題考查了并集運算以及集合的子集個數(shù)問題，同時考查了等價轉(zhuǎn)化思想.
解：，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個.故選C
12、.
例11．（2020年北京卷文）
記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為．
（I）若，求；
（II）若，求正數(shù)的取值范圍．
思路啟迪：先解不等式求得集合和．
解：（I）由，得．
（II）．
由，得，又，所以，
即的取值范圍是．
題型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一個特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個集合．當題設中隱含有空集參與的集合關(guān)系時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤．
例12. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B
13、=A，則實數(shù)組成的集合C是________．
解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．當x=1時，=2，當x=2時，=1．
這個結(jié)果是不完整的，上述解答只注意了B為非空集合，實際上，B=時，仍滿足A∪B=A，當=0時，B=，符合題設，應補上，故正確答案為C={0，1，2}．
例13．（2020年北京卷理）已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
思路啟迪：先確定已知集合A和B．
解：
故實數(shù)的取值范圍是．
例14. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，則實數(shù)m的取值范圍是_________．
思路啟迪：從方程觀點看，集合A是關(guān)于x的實系數(shù)一元
14、二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知該方程只有兩個負根或無實數(shù)根，從而分別由判別式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，并解出m的范圍．
解：由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0無零根，所以該方程只有兩個負根或無實數(shù)根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．
點評：此題容易發(fā)生的錯誤是由A∩=只片面地推出方程只有兩個負根（因為兩根之積為1，因為方程無零根），而把A=漏掉，因此要全面準確理解和識別集合語言．
例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，則實數(shù)p的取值范圍是_
15、_______．
解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只須∴ p的取值范圍是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時，符合題設．
應有：①當B≠時，即p＋1≤2p－1p≥2．
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②當B=時，即p＋1>2p－1p＜2．
由①、②得：p≤3．
點評：從以上解答應看到：解決有關(guān)A∩B=、A∪B=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題．
題型5．要注意利用數(shù)形結(jié)合解集合問題
集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助
16、文氏圖、數(shù)軸或直角坐標系等工具將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法使問題靈活直觀地獲解．
例16.設全集U={x|00}，求A∪B和A∩B．
解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋
17、3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如圖所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或01}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1
18、|－1－2}，且A∩B={x|1
19、3}，且A∩B=，則的取值范圍是（ ）
A、 [0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）
3．已知集合M={x|x=2-3+2，∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，則M，N的關(guān)系是（ ）
A、 MN B、MN C、M=N D、不確定
4．設集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，則A∪B中的元素個數(shù)是（ ）
A、11 B、10 C、16 D、15
5．集合M={1，2，3，4，5
20、}的子集是（ ）
A、15 B、16 C、31 D、32
6 集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},則( )
A M=N B MN C MN D M∩N=
7. 已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求實數(shù)m的取值范圍．
8． 命題甲：方程x2＋mx＋1=0有兩個相異負根；命題乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0無實根，這兩個命題有且只有一個成立，求m的取值范圍．
9 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1
21、∪B=A，則( )
A －3≤m≤4 B －3
22、 ( )
A.｛-1｝ B.｛1｝ C.｛0｝ D.｛3｝
14．設集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=，則P*Q中元素的個數(shù)是 ( )
A. 3 B. 7 C. 10 D. 12
二．填空題：
15．已知M={}，N={x|，則M∩N=__________.
16．非空集合p滿足下列兩個條件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素∈p，則6-∈p，則集合p個數(shù)是__________.
17．設A=｛1，2｝，B=｛x｜xA｝若用列舉法表示，則
23、集合B是 .
18．含有三個實數(shù)的集合可表示為，則 ．
三．解答題：
19．設集合A={(x，y)|y=x+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是單元素集合，求取值范圍.
20.設A={x|x2+px+q=0}≠，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=，A∩N=A，求p、q的值.
21．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．
22．已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求實數(shù)m范圍．
23．已知全集=R，且，
24、求.
24．已知集合,
且，，求,b的值.
【參考答案】
1． C 2. A 3. C 4. C 5. D
1,3,5
6. C 解析 對M將k分成兩類 k=2n或k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z},
對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),
N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}
7．解：設全集={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥}．
若方程x2
25、－4mx＋2m＋6=0的二根為x1、x2均非負，
因此，{m|m≥}關(guān)于補集{m|m≤－1}即為所求．
8．解：使命題甲成立的條件是：
∴ 集合A={m|m>2}．
使命題乙成立的條件是：△2=16(m－2)2－16<0，∴1＜m＜3．
∴ 集合B={m|12}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；
若為（2），則有：B∩CRA={m|1
26、m|1
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