陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和典型例題剖析素材 北師大版必修5（通用）

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1、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1. 等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第２項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于 同 一 個(gè) 常 數(shù)，那 么 這 個(gè) 數(shù) 列 就 叫 做 等 比 數(shù) 列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母ｑ表示． 2. 等比中項(xiàng)：若ａ，Ｇ，ｂ成等比數(shù)列，則稱Ｇ 為ａ 和ｂ 的等比中項(xiàng)． 3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不為0. 2.對(duì)于公比q，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒. 3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不

2、是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說(shuō)此數(shù)列從. 第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列. 4.在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng). 5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng). 6.等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=a1qn-1可改寫(xiě)為.當(dāng)q>0，且q1時(shí)，y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0　的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列｛an｝的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn). 7．在解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，，n中任意三

3、個(gè)，可求其余兩個(gè)。 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 [例1] 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn=aqn（為非零常數(shù)），則為（?。? A.等差數(shù)列　　　 B.等比數(shù)列　　 C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列 D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 錯(cuò)解： （常數(shù)） 為等比數(shù)列，即B。 錯(cuò)因：忽略了中隱含條件n＞1. 正解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1=S1＝aq; 當(dāng)n>1時(shí)， （常數(shù)） 但 既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。 [例2] 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于. 錯(cuò)解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30·q =.

4、 錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等比數(shù)列. 正解：由題意：得， S40=. [例3] 求和：a+a2+a3+…+an. 錯(cuò)解： a+a2+a3+…+an＝. 錯(cuò)因：是（1）數(shù)列｛an｝不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（2）用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1. 正解：當(dāng)a＝0時(shí)，a+a2+a3+…+an＝0; 當(dāng)a＝1時(shí)，a+a2+a3+…+an＝n; 當(dāng)a1時(shí)， a+a2+a3+…+an＝. [例4]設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，， 求證：成等比數(shù)列且公比為。 證明：

5、證法一：關(guān)于的二次方程有實(shí)根， ∴，∴ 則必有：，即，∴非零實(shí)數(shù)成等比數(shù)列 設(shè)公比為，則，代入 ∵，即，即。 證法二：∵ ∴ ∴，∴，且 ∵非零，∴。 [例5]在等比數(shù)列中，，求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。 解： ∵，∴前七項(xiàng)之積 [例6]求數(shù)列前n項(xiàng)和 解： ① ② 兩式相減： [例7]從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg鹽水，然后再加入1kg水， 問(wèn)：(1)第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多kg？

6、 (2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？ 解：(1)每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為{an}，則： a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()2×0.2（kg） 由此可見(jiàn)：an= ()n-1×0.2（kg）, a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得{an}是等比數(shù)列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg鹽，此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的

7、質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.003125。 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 1) a1=-2, a3=-8 2) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且 2.在等比數(shù)列，已知，，求. 3.已知無(wú)窮數(shù)列， 求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列 （2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的， （3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。 4.設(shè)數(shù)列為求此數(shù)列前項(xiàng)的和。 5.已知數(shù)列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn 6.是否存在數(shù)列{an}，其前項(xiàng)和Sn組成的數(shù)列{Sn}也是等比數(shù)列，且公比相同？ 7.在等比數(shù)列中，，求的范圍。