《高中數(shù)學(xué) 2-3-2第2章 第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)同步檢測 新人教B版必修5(通用)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 2-3-2第2章 第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)同步檢測 新人教B版必修5(通用)(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2章 2.3 第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等于( )
A.90 B.30
C.70 D.40
[答案] D
[解析] ∵q2==2,
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
2.等比數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù),且3是a5和a6的等比中項(xiàng),則a1·a2·…·a10=( )
A.39 B.310
C.311 D.312
[答案] B
[解析] 由已知,得a5a6=9,
∴a1·a10=a2·a9=a3·a8=a4·a7=a5·a6=9,
∴
2、a1·a2·…·a10=95=310.
3.在等比數(shù)列{an}中,若a3a5a7a9a11=243,則的值為( )
A.9 B.1
C.2 D.3
[答案] D
[解析] a3a5a7a9a11=aq30=243,
∴==a1q6==3.
4.已知等比數(shù)列{an}中,有a3a11=4a7,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b7=a7,則b5+b9等于( )
A.2 B.4
C.8 D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,∵{bn}為等差數(shù)列,
∴b5+b9=2b7=8.
5.在等比數(shù)列{an}中,
3、an>an+1,且a7·a11=6,a4+a14=5,則等于( )
A. B.
C. D.6
[答案] A
[解析] ∵,
解得或.
又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.∴==.
6.(2020·湖北文)已知等比數(shù)列{an}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則=( )
A.1+ B.1-
C.3+2 D.3-2
[答案] C
[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
∵a1,a3,2a2成等差數(shù)列,
∴a3=a1+2a2,
∴a1q2=a1+2a1q,∴q2-2q-1=0,
∴q=1±,∵各項(xiàng)都是正數(shù),
∴q>0,∴q
4、=1+,
∴=q2=(1+)2=3+2.
二、填空題
7.等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,則a4+a5等于________.
[答案] 27
[解析] 由題意,得a1+a2=1,a3+a4=(a1+a2)q2=9,
∴q2=9,又an>0,∴q=3.
故a4+a5=(a3+a4)q=9×3=27.
8.已知等比數(shù)列{an}的公比q=-,則等于________.
[答案]?。?
[解析]?。?
==-3.
三、解答題
9.在等比數(shù)列{an}中,已知a4·a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數(shù),求a10.
[解析] ∵a4·a7=
5、a3·a8=-512,
∴,
解得或.
又公比為整數(shù),
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3·q7=(-4)×(-2)7=512.
10.等差數(shù)列{an}中,a4=10,且a3,a6,a10成等比數(shù)列.求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20.
[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比數(shù)列得a3a10=a,
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
當(dāng)d=0時(shí),S20=20a4=200,
當(dāng)
6、d=1時(shí),a1=a4-3d=10-3×1=7,
于是,S20=20a1+d=20×7+190=330.
能力提升
一、選擇題
1.已知公差不為零的等差數(shù)列的第k、n、p項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),則等比數(shù)列的公比為( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1,公差為d,則
q===
===.
2.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么( )
A.?dāng)?shù)列{a}是等比數(shù)列
B.?dāng)?shù)列{2an}是等比數(shù)列
C.?dāng)?shù)列{lgan}是等比數(shù)列
D.?dāng)?shù)列{nan}是等比數(shù)列
[答案] A
[解析] 設(shè)bn=a,則==()2=q2,
∴{bn
7、}成等比數(shù)列;=2an+1-an≠常數(shù);
當(dāng)an<0時(shí),lgan無意義,設(shè)cn=nan
則==q≠常數(shù).
二、填空題
3.在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù),使三數(shù)成等差數(shù)列,若中間項(xiàng)減去6,則成等比數(shù)列,則此未知數(shù)是__________.
[答案] 3或27
[解析] 設(shè)此三數(shù)為3,a,b
則,
解得,或.
∴這個(gè)未知數(shù)為3或27.
4.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒的大小為2 KB,它每3s自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的兩倍,則內(nèi)存為64 MB(1 MB=210KB)的計(jì)算機(jī)開機(jī)后經(jīng)過________s,內(nèi)存被占完.
[答案] 45
[解析] 計(jì)算機(jī)病毒每次復(fù)制后的大
8、小組成等比數(shù)列{an},且a1=2×2=4,q=2,則an=4·2n-1,令4·2n-1=64×210,得n=15,即復(fù)制15次,共用45 s.
三、解答題
5.設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}為一個(gè)等比數(shù)列,且a2=4,a4=16,求lgan+1+lgan+2+…+lga2n.
[解析] 由a2=4,a4=16,得a1=2,q=2,∴an=2n.
∴l(xiāng)gan+1+lgan+2+…+lga2n=
lg(an+1·an+2·…·a2n)=lg2(n+1)+(n+2)+…+2n
=lg2=(3n2+n)lg2.
6.已知a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n=1
9、,2,3,….
(1)證明數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列;
(2)求an的通項(xiàng)公式.
[解析] (1)由已知得an+1=a+2an,
∴an+1+1=a+2an+1=(an+1)2
∵a1=2,∴an+1+1=(an+1)2>0,
∴l(xiāng)g(1+an+1)=2lg(1+an)
即=2,且lg(1+a1)=lg3
∴{lg(1+an)}是首項(xiàng)為lg3,公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)知,lg(1+an)=2n-1·lg3=lg32n-1
∴1+an=32n-1
∴an=32n-1-1.
7.容積為a L(a>1)的容器盛滿酒精后倒出1 L,然后加滿水,混合溶液后再倒出1 L,又用水加滿,如此繼續(xù)下去,問第n次操作后溶液的濃度是多少?若a=2,至少應(yīng)倒出幾次后才可以使酒精濃度低于10%.
[解析] 開始的濃度為1,操作一次后溶液的濃度是a1=1-.設(shè)操作n次后溶液的濃度是an,則操作n+1次后溶液的濃度是an+1=an(1-).所以{an}構(gòu)成以a1=1-為首項(xiàng),q=1-為公比的等比數(shù)列.所以an=a1qn-1=(1-)n,即第n次操作后溶液的濃度是(1-)n.當(dāng)a=2時(shí),由an=()n<,得n≥4.因此,至少應(yīng)倒4次后才可以使酒精濃度低于10%.