高中數學 2-2-1第1課時 橢圓及其標準方程同步檢測 新人教版選修2-1

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1、2.2第1課時 橢圓及其標準方程 一、選擇題 1．平面上到點A(－5,0)、B(5,0)距離之和為10的點的軌跡是(　　) A．橢圓　　　　　　　　 B．圓 C．線段 D．軌跡不存在 [答案]　C [解析]　兩定點距離等于定常數10，所以軌跡為線段． 2．橢圓ax2＋by2＋ab＝0(a－b>0，∴＋＝1， 焦點在y軸上，c＝＝ ∴焦點坐標為(0，±) 3．已知

2、橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上．若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為(　　) A.　　　B．3　　　　C.　　　D. [答案]　D [解析]　a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝. ∵△PF1F2為直角三角形． ∴P是橫坐標為±的橢圓上的點．(P點不可能是直角頂點) 設P(±，|y|)，把x＝±代入橢圓方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝. 4．橢圓＋＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點P的縱坐標是(　　) A．± B．± C．± D．± [答案]　C [解析]　設F

3、1(－3,0)∴P點橫坐標為3代入＋＝1得＝1－＝，y2＝，∴y＝± 5．橢圓＋y2＝1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．4 [答案]　C [解析]　如圖所示，由＋y2＝1知，F1、F2的坐標分別為(－，0)、(，0)，即P點的橫坐標為xp＝－，代入橢圓方程得yp＝， ∴|PF1|＝， ∵|PF1|＋|PF2|＝4. ∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝. 6．(09·陜西理)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的(　　) A．充分而不必要條件 B

4、．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓?>>0?m>n>0.故選C. 7．橢圓＋＝1的焦距是2，則m的值是(　　) A．5　　　B．3或8　　C．3或5　　D．20 [答案]　C [解析]　2c＝2，c＝1，故有m－4＝12或4－m＝12，∴m＝5或m＝3且同時都大于0，故答案為C. 8．過橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一個焦點F2構成△ABF2的周長是(　　) A．2　　 　B．4　　 　C.　　 　D．2 [答案]　B [

5、解析]　∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4， 即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4. 9．已知橢圓的方程為＋＝1，焦點在x軸上，則m的取值范圍是(　　) A．－4≤m≤4 B．－44或m<－4 D．0

6、C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) [答案]　D [解析]　頂點C滿足|CA|＋|CB|＝10>|AB|，由橢圓定義知2a＝10,2c＝8 所以b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故橢圓方程為＋＝1(y≠0)． 二、填空題 11．如圖所示，F1，F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2＝______. [答案]　2 [解析]　由題意S△POF2＝c2＝，則c2＝4?c＝2 ∴P＝(1，)代入橢圓方程＋＝1中得， ＋＝1，求出b2＝2. 12．已知A(－，0)，B是圓F：(x－) 2＋y2＝4(F為圓心)上一動點

7、，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為____________． [答案]　x2＋y2＝1 [解析]　如圖所示，由題意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2， ∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|， 即動點P的軌跡是以A、F為焦點的橢圓，a＝1，c＝，b2＝. ∴動點P的軌跡方程為x2＋＝1，即x2＋y2＝1. 13．(08·浙江)已知F1、F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________. [答案]　8 [解析]　(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|

8、BF2|) ＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8. 14．如圖，把橢圓＋＝1的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P7七個點，F是橢圓的一個焦點，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________. [答案]　35 [解析]　設橢圓右焦點為F′，由橢圓的對稱性知， |P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|， ∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35. 三、解答題 15．

9、求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)焦點在y軸上，且經過兩個點(0,2)和(1,0)． (2)坐標軸為對稱軸，并且經過兩點A(0,2)，B(，) [解析]　(1)由于橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為＋＝1(a>b>0) 由于橢圓經過點(0,2)和(1,0)， ∴? 故所求橢圓的方程為＋x2＝1. (2)設所求橢圓的方程為＋＝1(m>0，n>0)． ∵橢圓過A(0,2)，B(，)， ∴解得 ∴所求橢圓方程為x2＋＝1. 16．已知橢圓的中心在原點，且經過點P(3,0)，a＝3b，求橢圓的標準方程． [解析]　當焦點在x軸上時，設其方程為＋＝1(a>b>0)．由

10、橢圓過點P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，代入得b2＝1，a2＝9，故橢圓的方程為＋y2＝1. 當焦點在y軸上時，設其方程為＋＝1(a>b>0)． 由橢圓過點P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，聯(lián)立解得a2＝81，b2＝9，故橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的標準方程為＋＝1或＋y2＝1. 17．已知m為常數且m>0，求證：不論b為怎樣的正實數，橢圓＋＝1的焦點不變． [解析]　∵m>0，b2＋m>b2，∴焦點在x軸上，由＝，得橢圓的焦點坐標為(±，0)，由m為常數，得橢圓的焦點不變． 18．在面積為1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立適當的坐標系，求以M、N為焦點且過點P(x0，y0)(y0>0)的橢圓方程． [解析]　以線段MN的中點為原點，MN所在直線為x軸，建立坐標系． 設M(－c,0)，N(c,0)，c>0， 又P(x0，y0)，y0>0. 由??P(，)． 設橢圓方程為＋＝1，又P在橢圓上， 故b2()2＋(b2＋)()2＝b2(b2＋)， 整理得3b4－8b2－3＝0?b2＝3. 所以所求橢圓方程為＋＝1.