高中數(shù)學(xué) 2-3-3第3課時 雙曲線的綜合應(yīng)用同步檢測 新人教版選修2-1

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1、2.3第3課時 雙曲線的綜合應(yīng)用 一、選擇題 1.如圖,橢圓C1,C2與雙曲線C3,C4的離心率分別是e1,e2,e3與e4,則e1,e2,e3,e4的大小關(guān)系是(  ) A.e2

2、[答案] D [解析] 設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),依題意c=, ∴方程可化為-=1. 由得, (7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=. ∵=-,∴=-,解得a2=2. 故所求雙曲線方程為-=1,故選D. 3.若ab≠0,則ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲線只可能是下圖中的(  ) [答案] C [解析] 方程可化為y=ax+b和+=1.從B,D中的兩橢圓看a,b∈(0,+∞),但B中直線有a<0,b<0矛盾,應(yīng)排除;D中直線有a<0,b>0矛盾,應(yīng)排除;再看A中雙曲線的a<0,

3、b>0,但直線有a>0,b>0,也矛盾,應(yīng)排除;C中雙曲線的a>0,b<0和直線中a,b一致.應(yīng)選C. 4.(2020·濰坊模擬)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別是F1、F2,過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點,若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為(  ) A.   B.   C.   D. [答案] B [解析] 在直角△MF1F2中,∠F1F2M=90°,∠MF1F2=30°,|F1F2|=2c,于是=cos30°=,=tan30°=,從而有|MF1|=c,|MF2|=c,代入|MF1|-|MF2|=2a,得c=2a,故e==,故選B. 5.雙曲線-=

4、1(a>0,b>0)的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為(  ) A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞) [答案] B [解析] 由雙曲線的定義得,|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|=4a,∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, ∴6a≥2c,≤3,故離心率的范圍是(1,3],選B. 6.已知F1、F2是兩個定點,點P是以F1和F2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點,并且PF1⊥PF2,e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率,則有(  ) A.+

5、=4 B.e+e=4 C.+=2 D.e+e=2 [答案] C [解析] 設(shè)橢圓長半軸長為a,雙曲線實半軸長為m,則 ①2+②2得:2(|PF1|2+|PF2|2)=4a2+4m2, 又|PF1|2+|PF2|2=4c2代入上式得4c2=2a2+2m2, 兩邊同除以2c2得2=+,故選C. 7.(08·山東)設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 [答案] A [解析] 由已知得橢圓中a=13

6、,c=5,曲線C2為雙曲線,由此知道在雙曲線中a=4,c=5,故雙曲線中b=3,雙曲線方程為-=1. 8.已知a>b>0,e1,e2分別為圓錐曲線+=1和-=1的離心率,則lge1+lge2的值(  ) A.大于0且小于1 B.大于1 C.小于0 D.等于0 [答案] C [解析] ∵lge1+lge2=lg+lg=lg

7、為O,x2+y2=1的圓心為O,圓x2+y2-8x+12=0的圓心為O2, 由題意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2, ∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4, 由雙曲線的定義知,動圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支. 10.(2020·浙江理,8)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近方程為(  ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 [答案] C [

8、解析] 如圖: 由條件|F2A|=2a,|F1F2|=2c 又知|PF2|=|F1F2|,知A為PF1中點,由a2+b2=c2,有|PF1|=4b由雙曲線定義: |PF1|-|PF2|=2a,則4b-2c=2a ∴2b=c+a,又有c2=a2+b2,(2b-a)2=a2+b2, ∴4b2-4ab+a2=a2+b2 3b2=4ab,∴=, ∴漸近線方程:y=±x.故選C. 二、填空題 11.設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x2-2y2=1有公共的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),則該橢圓的方程是________. [答案] +y2=1 [解析] 雙曲線為-=1. ∴雙曲線的焦點為

9、(1,0)和(-1,0),離心率為.則橢圓的離心率為,又e==,c=1, ∴a=,b=1.∴橢圓的方程是+y2=1. 12.過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點,以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于____________. [答案] 2 [解析] 由題意得,a+c=, 即a2+ac=b2,a2+ac=c2-a2, ∴c2-ac-2a2=0,∴e2-e-2=0. 解得e=2或e=-1(舍去). 13.雙曲線-=1的兩個焦點為F1、F2,點P在雙曲線上,若PF1⊥PF2,則點P到x軸的距離為___________

10、_. [答案] 3.2 [解析] 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),∴a=3,b=4,c=5.由雙曲線的定義知,m-n=2a=6, 又PF1⊥PF2. ∴△PF1F2為直角三角形. 即m2+n2=(2c)2=100. 由m-n=6,得m2+n2-2mn=36, ∴2mn=m2+n2-36=64,mn=32. 設(shè)點P到x軸的距離為d, S△PF1F2=d|F1F2|=|PF1|·|PF2|, 即d·2c=mn.∴d===3.2, 即點P到x軸的距離為3.2. 14.(2020·北京理,13)已知雙曲線-=1的離心率為2,焦點與橢圓+=1的焦點相同,那么雙曲線的焦

11、點坐標(biāo)為________;漸近線方程為________. [答案] (±4,0) y=±x [解析] 雙曲線焦點即為橢圓焦點,不難算出為(±4,0),又雙曲線離心率為2,即=2,c=4,故a=2,b=2,漸近線為y=±x=±x. 三、解答題 15.求以橢圓+=1的長軸端點為焦點,且經(jīng)過點P(4,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. [解析] 橢圓+=1長軸的頂點為A1(-5,0),A2(5,0),則雙曲線的焦點為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),由雙曲線的定義知, |PF1|-|PF2| =- =-=8, 即2a=8,a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9. 所以雙曲線的方程為-=1.

12、 16.直線l被雙曲線-=1截得弦長為4,其斜率為2,求直線l在y軸上的截距. [解析] 設(shè)直線l的方程為y=2x+m, 由得10x2+12mx+3(m2+2)=0. 設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點, 由韋達(dá)定理,得x1+x2=-m,x1x2=(m2+2). 又y1=2x1+m,y2=2x2+m, ∴y1-y2=2(x1-x2), ∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 =5[(x1+x2)2-4x1x2] =5[m2-4×(m2+2)] ∵|AB|=4,∴m2-6(m2+2)=16. ∴3m2=70,m=±.

13、 17.設(shè)P點是雙曲線-=1上除頂點外的任意一 點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點,c為半焦距,△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2切于點M,求|F1M|·|F2M|之值. [解析] 如圖所示.P是雙曲線上任一點(頂點除外),由雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=±2a, 根據(jù)切線定理,可得|F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=±2a. 又|F1M|+|F2M|=2c, ∴當(dāng)P在雙曲線左支上時,|F1M|=c-a,|F2M|=c+a. 當(dāng)P在雙曲線右支上時,|F1M|=c+a,|F2M|=c-a. 故|F1M|·|F2M|=c2-a2=b2. 18.已知直線y=ax+1與雙曲線

14、3x2-y2=1交于A、B兩點. (1)若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點,求實數(shù)a的值, (2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B兩點關(guān)于直線y=x對稱?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由. [解析] (1)由消去y得, (3-a2)x2-2ax-2=0① 依題意 即-

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