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1、課時作業(yè)(四十四) 均值不等式
A 級
1.(2020·太原模擬)設(shè)a,b∈R,已知命題p:a2+b2≤2ab;命題q:2≤,則p是q成立的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
2.已知f(x)=x+-2(x<0),則f(x)有( )
A.最大值為0 B.最小值為0
C.最大值為-4 D.最小值為-4
3.(2020·福建卷)下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
4.設(shè)=(1,-2),=(
2、a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A,B,C三點(diǎn)共線,則+的最小值是( )
A.4 B.6
C.8 D.10
5.(2020·北京卷)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
6.已知x,y為正實(shí)數(shù),且滿足4x+3y=12,則xy的最大值為________.
7.(2020·西安長安一中質(zhì)檢)已知a>0,b>0,且ln(a+b)=0,則+的
3、最小值是________.
8.(2020·豫西五校聯(lián)考)已知a,b∈R,且ab=50,則|a+2b|的最小值是________.
9.當(dāng)x2-2x<8時,函數(shù)y=的最小值是________.
10.(1)求函數(shù)y=x(a-2x)(x>0,a為大于2x的常數(shù))的最大值;
(2)已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,求z=+的最小值.
11.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.
B 級
1.(2020·陜西卷)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b),
4、其全程的平均時速為v,則( )
A.a(chǎn)<v< B.v=
C.<v< D.v=
2.(2020·皖北四市聯(lián)考)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),則+的最小值為__________.
3.某種商品原來每件售價為25元,年銷售8萬件.
(1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2 000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?
(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革,并提高定價到x元.公司擬投入(x2-600)萬元作為技改費(fèi)用,投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用,投
5、入x萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問:當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.
詳解答案
課時作業(yè)(四十四)
A 級
1.B 命題p:(a-b)2≤0?a=b;命題q:(a-b)2≥0.顯然,由p可得q成立,但由q不能推出p成立,故p是q的充分不必要條件.
2.C ∵x<0,∴-x>0,
∴x+-2=--2≤-2-2=-4,
當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時,等號成立.
3.C 應(yīng)用基本不等式:x,y∈R+,≥(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時取等號)逐個分析,注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件
6、.當(dāng)x>0時,x2+≥2·x·=x,所以lg≥lg x(x>0),故選項A不正確;運(yùn)用基本不等式時需保證一正二定三相等,而當(dāng)x≠kπ,k∈Z時,sin x的正負(fù)不定,故選項B不正確;由基本不等式可知,選項C正確;當(dāng)x=0時,有=1,故選項D不正確.
4.C?。剑?a-1,1),=-=(-b-1,2),
∵與共線,∴2(a-1)+b+1=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴+=(2a+b)=4++≥4+4=8,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時等號成立.
5.B 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品,則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是,存儲費(fèi)用是,總的費(fèi)用是+≥2=20,當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號,即x=80.
7、6.解析: ∵12=4x+3y≥2,∴xy≤3.
當(dāng)且僅當(dāng)即時xy取得最大值3.
答案: 3
7.解析: 由已知條件ln(a+b)=0得a+b=1,又a>0,b>0,+=(a+b)=2++≥4,當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=時取“=”號,所以+的最小值是4.
答案: 4
8.解析: 依題意得,a,b同號,于是有|a+2b|=|a|+|2b|≥2=2=2=20(當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|2b|時取等號),因此|a+2b|的最小值是20.
答案: 20
9.解析: 由x2-2x<8得x2-2x-8<0,
即(x-4)(x+2)<0,得-2<x<4,∴x+2>0,
而y==
=(x+2)+-5≥2-
8、5=-3.
等號當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取得.
答案:?。?
10.解析: (1)∵x>0,a>2x,
∴y=x(a-2x)=×2x(a-2x)≤×2=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號,故函數(shù)的最大值為.
(2)由已知條件lg x+lg y=1,可得xy=10.
則+=≥=2.∴min=2.
當(dāng)且僅當(dāng)2y=5x,即x=2,y=5時等號成立.故z的最小值為2.
11.解析: 由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1)得
(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1,
∴3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0,
∴(3+1)(-1)≥0,∴≥1,∴xy≥1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=
9、y=1時,等號成立.∴xy的最小值為1.
(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·2,
∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0,
∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,∴x+y≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=1時取等號,∴x+y的最小值為2.
B 級
1.A 設(shè)甲乙兩地相距為s,則v==.
由于a<b,∴+<,∴v>a,
又+>2,∴v<.故a<v<,故選A.
2.解析: ∵f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),
∴a>0且Δ=4-4ac=0,∴c=,
∴+=+=+≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號),
∴+的最小值為4.
答案: 4
3.解析: (1)設(shè)每件定價為t元,
依題意,有t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.
∴要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元.
(2)依題意,x>25時,
不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,
等價于x>25時,a≥+x+有解,
∵+x≥2=10(當(dāng)且僅當(dāng)x=30時,等號成立),
∴a≥10.2.
∴當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.