2020版高考數(shù)學 3年高考2年模擬 第7章 數(shù)列

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1、第六章 數(shù)列第一部分 三年高考體題薈萃2020年高考題 一、選擇題 1．（天津理4）已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項，為 的前項和，，則的值為 A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110 【答案】D 2．（四川理8）數(shù)列的首項為，為等差數(shù)列且．若則，，則 A．0 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【解析】由已知知由疊加法 3．（四川理11）已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，．設在上的最大值為，且的前項和為，則 A．3 B．

2、 C．2 D． 【答案】D 【解析】由題意,在上， 4．（上海理18）設是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長為的矩形面積（），則為等比數(shù)列的充要條件為 A．是等比數(shù)列。 B．或是等比數(shù)列。 C．和均是等比數(shù)列。 D．和均是等比數(shù)列，且公比相同。 【答案】D 5．（全國大綱理4）設為等差數(shù)列的前項和，若，公差，，則 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 6．（江西理5） 已知數(shù)列{}的前n項和滿足：，且=1．那么= A．1 B．9 C．10 D．55 【答案】A 7．（福

3、建理10）已知函數(shù)f（x）=e+x，對于曲線y=f（x）上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A,B,C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是 A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④ 【答案】B 二、填空題 8．（湖南理12）設是等差數(shù)列，的前項和，且， 則= ． 【答案】25 9．（重慶理11）在等差數(shù)列中，，則__________ 【答案】74 10．（北京理11）在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=-4，則公

4、比q=______________；____________。—2 【答案】 11．（安徽理14）已知的一個內(nèi)角為120o，并且三邊長構成公差為4的 等差數(shù)列，則的面積為_______________. 【答案】 12．（湖北理13）《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升。 【答案】 13．（廣東理11）等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和．若，則k=____________． 【答案】10 14．（江蘇13）設，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等

5、差數(shù)列，則q的最小值是________ 【答案】 三、解答題 15．（江蘇20）設Ｍ部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列，前n項和為，已知對任意整數(shù)kM，當整數(shù)都成立 （1）設的值； （2）設的通項公式 本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關系、等差數(shù)列的基本性質等基礎知識，考查考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。 解：（1）由題設知，當， 即， 從而 所以的值為8。 （2）由題設知，當 ， 兩式相減得 所以當成等差數(shù)列，且也成等差數(shù) 列 從而當時， （*） 且， 即成等差數(shù)列， 從而，

6、 故由（*）式知 當時，設 當，從而由（*）式知 故 從而，于是 因此，對任意都成立，又由可知， 解得 因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由 所以數(shù)列的通項公式為 16．（安徽理18） 在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設求數(shù)列的前項和. 本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)的運算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力. 解：（I）設構成等比數(shù)列，其中則 ① ② ①×②并利用 （II）由題意和

7、（I）中計算結果，知 另一方面，利用 得 所以 17．（北京理20） 若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=． （Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2020； （Ⅲ）對任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列， 所以. 所以A5是首項為12，公差為1的

8、等差數(shù)列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2020. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因為a1=12，a2000=2020, 所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上，結論得證。 （Ⅲ）令 因為 …… 所以 因為 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 當 時，有 當?shù)捻棟M足， 當不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An， 使得 18．（福建理16） 已知等比

9、數(shù)列{an}的公比q=3，前3項和S3=。 （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。 本小題主要考查等比數(shù)列、三角函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，滿分13分。 解：（I）由 解得 所以 （II）由（I）可知 因為函數(shù)的最大值為3，所以A=3。 因為當時取得最大值， 所以 又 所以函數(shù)的解析式為 19．（廣東理20） 設b>0,數(shù)列滿足a1=b，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）證明：對于一切正整數(shù)n， 解： （1）由 令， 當

10、 ①當時， ②當 （2）當時，（欲證） ， 當 綜上所述 20．（湖北理19） 已知數(shù)列的前項和為，且滿足：，N*，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差數(shù)列，是判斷：對于任意的N*，且，，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結論． 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想。（滿分13分） 解：（I）由已知可得，兩式相減可得 即 又所以r=0時， 數(shù)列為：a，0，…，0，…； 當時，由已知（），

11、于是由可得， 成等比數(shù)列， ， 綜上，數(shù)列的通項公式為 （II）對于任意的，且成等差數(shù)列，證明如下： 當r=0時，由（I）知， 對于任意的，且成等差數(shù)列， 當，時， 若存在，使得成等差數(shù)列， 則， 由（I）知，的公比，于是 對于任意的，且 成等差數(shù)列， 綜上，對于任意的，且成等差數(shù)列。 21．（遼寧理17） 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10 （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （II）求數(shù)列的前n項和． 解：

12、 （I）設等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得 解得 故數(shù)列的通項公式為 ………………5分 （II）設數(shù)列，即， 所以，當時， 所以 綜上，數(shù)列 ………………12分 22．（全國大綱理20） 設數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）設 解： （I）由題設 即是公差為1的等差數(shù)列。 又 所以 （II）由（I）得 ， …………8分 …………12分 23．（全國新課標理17） 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且． （I）求數(shù)列的通項公式．

13、 （II）設，求數(shù)列的前n項和． 解： （Ⅰ）設數(shù)列{an}的公比為q，由得所以． 由條件可知c>0，故． 由得，所以． 故數(shù)列{an}的通項式為an=． （Ⅱ?） 故 所以數(shù)列的前n項和為 24．（山東理20） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項和． 解：（I）當時，不合題意； 當時，當且僅當時，符合題意； 當時，不合

14、題意。 因此 所以公式q=3， 故 （II）因為 所以 所以 當n為偶數(shù)時， 當n為奇數(shù)時， 綜上所述， 25．（上海理22） 已知數(shù)列和的通項公式分別為，（），將集合 中的元素從小到大依次排列，構成數(shù)列 。 （1）求； （2）求證：在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項恰為； （3）求數(shù)列的通項公式。 解：⑴ ； ⑵ ① 任意，設，則，即 ② 假設（矛盾），∴ ∴ 在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項恰為。 ⑶ ， ，， ∵ ∴ 當時，依次有，…… ∴ 。 26．（四川理20） 設為非零實數(shù)， （1）寫出并

15、判斷是否為等比數(shù)列。若是，給出證明；若不是，說明理由； （II）設，求數(shù)列的前n項和． 解析：（1） 因為為常數(shù)，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列。 （2） （2）（1） 27．（天津理20） 已知數(shù)列與滿足：， ，且 ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設，證明：是等比數(shù)列； （III）設證明：． 本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. （I）解：由 可得 又 （II）證明：對任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代

16、入①，可得 即 又 因此是等比數(shù)列. （III）證明：由（II）可得， 于是，對任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當k=1時也成立.由④式得 從而 所以，對任意， 對于n=1，不等式顯然成立. 所以，對任意 28．（浙江理19）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為a（）,設數(shù)列的前n項和為，且，，成等比數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項公式及 （2）記，，當時，試比較與的大?。? 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎知識，同時考查分類討論思想。滿分14分。 （I）解：設等差數(shù)列的公差為d，由

17、 得 因為，所以所以 （II）解：因為，所以 因為，所以 當， 即 所以，當 當 29．（重慶理21） 設實數(shù)數(shù)列的前n項和，滿足 （I）若成等比數(shù)列，求和； （II）求證：對 （I）解：由題意， 由S2是等比中項知 由解得 （II）證法一：由題設條件有 故 從而對有 ① 因，由①得 要證，由①只要證 即證 此式明顯成立. 因此 最后證若不然 又因矛盾. 因此 證法二：由題設知， 故方程（可能相同）. 因此判別式 又由 因此， 解得 因此 由，得 因此

18、 2020年高考題 一、選擇題 1.（2020浙江理）設為等比數(shù)列的前項和，，則 （A）11 （B）5 （C） （D） 解析：通過，設公比為，將該式轉化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選D，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，屬中檔題 2.（2020全國卷2理）如果等差數(shù)列中，，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質. 【解析】 3.（2020遼寧文）設為等比數(shù)列的前項和，已知，，則公

19、比 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】 B 解析：選B. 兩式相減得， ，. 4.（2020遼寧理）設{an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和。已知a2a4=1, ,則 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了同學們解決問題的能力。 【解析】由a2a4=1可得，因此，又因為，聯(lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B。 5.（2020全國卷2文）如果等差數(shù)列中，++=12，那么++???…+= （A）14 (B) 21

20、 (C) 28 (D) 35 【答案】C 【解析】本題考查了數(shù)列的基礎知識。 ∵ ，∴ 6.（2020安徽文）設數(shù)列的前n項和，則的值為 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 【答案】 A 【解析】. 【方法技巧】直接根據(jù)即可得出結論. 7.（2020浙江文）設為等比數(shù)列的前n項和，則 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11 解析：通過，設公比為，將該式轉化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前

21、n項和公式 8.（2020重慶理）在等比數(shù)列中， ，則公比q的值為 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 解析： 9.（2020廣東理）已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若， 且與2的等差中項為，則= A．35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 解析：設{}的公比為，則由等比數(shù)列的性質知，，即。由與2的等差中項為知，，即． ∴，即．，即． 10.（2020廣東文） 11.（2020山東理） 12.（2020重慶文）（2）在等差數(shù)列中，，

22、則的值為 （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】 A 解析：由角標性質得，所以=5 13.（2020江西理）5.等比數(shù)列中，，=4，函數(shù) ，則（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多項式函數(shù)的導數(shù)公式，重點考查學生創(chuàng)新意識，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想和方法。考慮到求導中，含有x項均取0，則只與函數(shù)的一次項有關；得：。 14.（2020江西理）（

23、 ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識.解法一：先求和，然后對和取極限。 15.（2020北京理）在等比數(shù)列中，，公比.若，則m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【答案】C 16.（2020四川理）已知數(shù)列的首項，其前項的和為，且，則 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 T a2＝2a1 故

24、{an}是公比為2的等比數(shù)列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 則 【答案】B 17.（2020天津理）（6）已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為 （A）或5 （B）或5 （C） （D） 【答案】C 【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式及等比數(shù)列的性質，屬于中等題。 顯然q1，所以，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列， 前5項和. 【溫馨提示】在進行等比數(shù)列運算時要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時也要注意基本量法的應用。 18.（2020福建理）3．設等差數(shù)列的前n項和為,若,,則當取最小值時

25、,n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】設該數(shù)列的公差為，則，解得， 所以，所以當時，取最小值。 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函數(shù)最值的求法及計算能力。 19.（2020全國卷1文）（4）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A 【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了轉化與化歸的數(shù)學思想. 【解析】由等比數(shù)列的性

26、質知，10,所以, 所以 20.（2020湖北文）7.已知等比數(shù)列{}中，各項都是正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則 A. B. C. D 21.（2020安徽理）10、設是任意等比數(shù)列，它的前項和，前項和與前項和分別為，則下列等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【分析】取等比數(shù)列,令得代入驗算，只有選項D滿足。 【方法技巧】對于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗證，若能排除3個選項，剩下唯一正確的就一定正確；若不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗證繼續(xù)排除.本題也可以首項、公比即項數(shù)n表示代入驗證得結論. 22.（2020

27、湖北理數(shù)）如圖，在半徑為r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設為前n個圓的面積之和，則= A． 2 B. C.4 D.6 二、填空題 23.（2020遼寧文）設為等差數(shù)列的前項和，若，則 。 解析：填15. ,解得， 24.（2020福建理）在等比數(shù)列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式 ． 【答案】 【解析】由題意知，解得，所以通項。 【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應用，屬基礎題。 25.（2020江

28、蘇卷）函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_________ 解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。 在點(ak,ak2)處的切線方程為：當時，解得， 所以。 三、解答題 26.（2020上海文）(本題滿分14分)本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個小題滿分8分。 已知數(shù)列的前項和為，且， (1)證明：是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù). 解析：(1) 當n=1時，a1=-14；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，

29、 又a1-1=-15≠0，所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列； (2) 由(1)知：，得，從而(n?N*)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整數(shù)n=15． 27.（2020陜西文）16.（本小題滿分12分） 已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項; （Ⅱ）求數(shù)列{2an}的前n項和Sn. 解 （Ⅰ）由題設知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得＝， 解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通項an＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比數(shù)列前n項和公式得

30、 Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2. 28.（2020全國卷2文）（本小題滿分12分） 已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 ， （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和。 【解析】本題考查了數(shù)列通項、前項和及方程與方程組的基礎知識。 （1）設出公比根據(jù)條件列出關于與的方程求得與，可求得數(shù)列的通項公式。 （2）由（1）中求得數(shù)列通項公式，可求出BN的通項公式，由其通項公式化可知其和可分成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。 29.（2020江西理）22. （本小題滿分14分） 證明以下命題： （1） 對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b

31、 （2） 存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列。 【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1）考慮到結構要證，；類似勾股數(shù)進行拼湊。 證明：考慮到結構特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。 結合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明構成三角形，再證明互不相似，且無窮。 證明：當成等差數(shù)列，則， 分解得： 選取關于n的一個多項式，做兩種途徑的分解 對比目標式，構造，由第一問結論得，等差數(shù)列成立， 考察三角形邊長關系，可構成三角形的三邊。 下證互不相似。

32、任取正整數(shù)m，n，若△m，△相似：則三邊對應成比例 ， 由比例的性質得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。 30.（2020安徽文）（21）（本小題滿分13分) 設是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列. (Ⅰ)證明：為等比數(shù)列； （Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和. 【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力. 【解題指導】（1）求直線傾斜角的正弦，設的圓心為，得，同理得，結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得兩圓半徑之間的關系，即中

33、與的關系，證明為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結論求的通項公式，代入數(shù)列，然后用錯位相減法求和. 【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結合的問題，通常利用幾何知識，并結合圖形，得出關于數(shù)列相鄰項與之間的關系，然后根據(jù)這個遞推關系，結合所求內(nèi)容變形，得出通項公式或其他所求結論.對于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項公式由等差與等比數(shù)列的積構成的數(shù)列時，通常是利用前n項和乘以公比，然后錯位相減解決. 31.（2020重慶文）（16）（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分. ） 已知是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，為的前項和. （Ⅰ）求通項及； （Ⅱ）設是首項為1，公比為3的等比數(shù)列

34、，求數(shù)列的通項公式及其前項和. 32.（2020浙江文）（19）（本題滿分14分）設a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足+15=0。 （Ⅰ）若=5，求及a1； （Ⅱ）求d的取值范圍。 33.（2020北京文）（16）（本小題共13分） 已知為等差數(shù)列，且，。 （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）若等差數(shù)列滿足，，求的前n項和公式 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差。 因為 所以 解得 所以 （Ⅱ）設等比數(shù)列的公比為 因為 所以 即=3 所以的前項和公式為

35、34.（2020四川理）（21）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a3，a5； （Ⅱ）設bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列； （Ⅲ）設cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn. 本小題主要考查數(shù)列的基礎知識和化歸、分類整合等數(shù)學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力. 解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－

36、a1＋8＝20………………………………2分 (2)當n∈N *時，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首項為b1＝a3－a1＝6,公差為8的等差數(shù)列 則bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 an＝-(n－1)2. 那么an＋1－an＝－2n＋1 ＝－2n＋1

37、 ＝2n 于是cn＝2nqn－1. 當q＝1時，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) 當q≠1時，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1. 兩邊同乘以q，可得 qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述兩式相減得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn ＝2·－2nqn ＝2· 所以Sn＝2· 綜上所述，Sn＝…………………………12分 35.（2020全國卷1理）（22）(本小題滿分12分

38、)（注意：在試題卷上作答無效） 已知數(shù)列中， . （Ⅰ）設，求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍 . 36.（2020山東理）（18）（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項和． 【解析】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以有 ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==， 即數(shù)列的前n項和=。 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎知識是解答好本類題目的關鍵。 37.（2020湖南文）20

39、.（本小題滿分13分） 給出下面的數(shù)表序列： 其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。 （I）寫出表4，驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列，并將結論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）； （II）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為 求和： 38.（2020全國卷2理）（18）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）證明：． 【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運用

40、所學知識解決問題的能力. 【參考答案】 【點評】2020年高考數(shù)學全國I、Ⅱ這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心. 估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù). 39.（2020北京理）（20）（本小題共13分） 已知集合對于，，定義A與B的差為 A與B之間的距離為 （Ⅰ）證明：，且; （Ⅱ）證

41、明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) (Ⅲ) 設P，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）≤. （考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效） 證明：（I）設，， 因為，，所以, 從而 又 由題意知，，. 當時，; 當時， 所以 (II)設，， ，，. 記，由（I）可知 所以中1的個數(shù)為，的1的 個數(shù)為。 設是使成立的的個數(shù)，則 由此可知，三個數(shù)不可能都是

42、奇數(shù)， 即,,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。 （III）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和， 設種所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1，個0 則= 由于 所以 從而 40.（2020天津文）（22）（本小題滿分14分） 在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k. （Ⅰ）證明成等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅲ）記，證明. 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿分14分。 （I）證明：由題設可知，，，，， 。 從而，

43、所以，，成等比數(shù)列。 （II）解：由題設可得 所以 . 由，得 ，從而. 所以數(shù)列的通項公式為或寫為，。 （III）證明：由（II）可知，， 以下分兩種情況進行討論： （1） 當n為偶數(shù)時，設n=2m 若，則， 若，則 . 所以，從而 （2） 當n為奇數(shù)時，設。 所以，從而 綜合（1）和（2）可知，對任意有 41.（2020天津理）（22）（本小題滿分14分） 在數(shù)列中，，且對任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。 （Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（） （Ⅱ）若對任意，

44、，，成等比數(shù)列，其公比為。 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。 （Ⅰ）證明：由題設，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比數(shù)列。 （Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得 當≠1時，可知≠1，k 從而 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分兩種情況進行討論： （1） 當n為偶數(shù)時，設n=2m() 若m=1,則.

45、 若m≥2，則 + 所以 (2)當n為奇數(shù)時，設n=2m+1（） 所以從而··· 綜合（1）（2）可知，對任意,,有 證法二：（i）證明：由題設，可得 所以 由可知?？傻茫? 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （ii）證明：因為所以。 所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ，故。 從而。 所以，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同證法一。 42.（2020湖南理）21．（本小題滿分13分） 數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點 （Ⅰ）當a=0時，求通項； （Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a

46、的取值范圍；若不存在，請說明理由。 43.（2020江蘇卷）19、（本小題滿分16分） 設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的通項公式（用表示）； （2）設為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。 （1）由題意知：， ， 化簡，得： ， 當時，，適合情形。 故所求 （2）（方法一） ， 恒成立。 又，， 故，即的最大值為。 （方法二）由及，得，。 于是，對滿足題設的，

47、，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取實數(shù)。設為偶數(shù)，令，則符合條件，且。 于是，只要，即當時，。 所以滿足條件的，從而。 因此的最大值為。 2020年高考題 一、選擇題 1.(2020年廣東卷文)已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】設公比為,由已知得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B 2.(2020安徽卷文）已知為等差數(shù)列，，則等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B。 【答案】

48、B 3.（2020江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項, ,則等于 A.18 B.24 C.60 D.90 【答案】C 【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C 4.（2020湖南卷文）設是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 【解析】故選C. 或由, 所以故選C. 5.（2020福建卷理）等差數(shù)列的

49、前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等于 A．1 B C.- 2 D 3 【答案】：C [解析]∵且.故選C 6.（2020遼寧卷文）已知為等差數(shù)列，且－2＝－1, ＝0,則公差d＝ A.－2 B.－ C. D.2 【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 T d＝－ 【答案】B 7.（2020四川卷文）等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是 A. 90 B.

50、 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100 8.（2020寧夏海南卷文）等差數(shù)列的前n項和為，已知，,則 A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C 【解析】因為是等差數(shù)列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故選.C。 9.（2020重慶卷文）設是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（ ） A． B． C． D． 【

51、答案】A 【解析】設數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項和 10.（2020廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當時， A. B. C. D. 【解析】由得，，則， ，選C. 【答案】 C 11.（2020遼寧卷理）設等比數(shù)列{ }的前n 項和為 ，若 =3 ，則 = A.2 B. C. D.3 【解析】設公比為q ,則＝1＋q3＝3 T q3＝2 于是

52、 【答案】B 12.（2020寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】4，2，成等差數(shù)列，,選C. 【答案】 C 13.（2020湖北卷文）設記不超過的最大整數(shù)為[],令{}=-[]，則{}，[], A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 【答案】B 【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質易得三者構

53、成等比數(shù)列. 14.（2020湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如： 他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由圖形可得三角形數(shù)構成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構成的數(shù)列通項，則由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C. 15.（2020安

54、徽卷理）已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項和，則使得達到最大值的是 A.21 B.20 C.19 D.18 【答案】 B 【解析】由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，選B 16.（2020江西卷理）數(shù)列的通項，其前項和為，則為 A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】由于以3 為周期,故 故選A 17.（2020四川卷文）等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是 A. 90

55、 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝10 二、填空題 18.（2020全國卷Ⅰ理） 設等差數(shù)列的前項和為，若,則= 答案 24 解析 是等差數(shù)列,由,得 . 19.（2020浙江理）設等比數(shù)列的公比，前項和為，則 ． 答案：15 解析 對于 20.（2020北京文）若數(shù)列滿足：，則 ；前8項的和 .（用數(shù)字作答） 答案 2

56、25 解析 本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題. 屬于基礎知識、基本運算的考查. ， 易知，∴應填255. 21.（2020全國卷Ⅱ文）設等比數(shù)列{}的前n項和為。若，則= × 答案：3 解析：本題考查等比數(shù)列的性質及求和運算，由得q3=3故a4=a1q3=3 22.（2020全國卷Ⅱ理）設等差數(shù)列的前項和為，若則 解析 為等差數(shù)列， 答案 9 23.（2020遼寧卷理）等差數(shù)列的前項和為，且則 解析 ∵Sn＝na1＋n(n－1)d ∴S5

57、＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4 答案 24.（2020浙江理）（14）設 ， 將的最小值記為，則 其中=__________________ . 解析：本題主要考察了合情推理，利用歸納和類比進行簡單的推理，屬容易題 25.（2020陜西文）11.觀察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝ （1＋2＋3＋4）2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋

58、5）2（或152）. 解析：第i個等式左邊為1到i+1的立方和，右邊為1到i+1和的完全平方 所以第四個等式為13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 26.（2020遼寧理）（16）已知數(shù)列滿足則的最小值為__________. 【答案】 【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及構造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 設，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因為n∈N

59、+,所以當n=5或6時有最小值。 又因為，，所以，的最小值為 27.（2020浙江文）（14）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的樹都成等差數(shù)列， 那么，位于下表中的第n行第n+1列的數(shù)是 。 答案： 28.（2020天津文）（15）設{an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項和。記設為數(shù)列{}的最大項，則= 。 【答案】4 【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和公式與通項及平均值不等式的應用，屬于中等題。 因為≧8，當且僅當=4，即n=4時取等號，所以當n0=4時Tn有最大值。 【溫馨提示】本題的實質是求Tn取得最大值時的n值，求解時

60、為便于運算可以對進行換元，分子、分母都有變量的情況下通常可以采用分離變量的方法求解. 29.（2020湖南理）若數(shù)列滿足：對任意的，只有有限個正整數(shù)使得成立，記這樣的的個數(shù)為，則得到一個新數(shù)列．例如，若數(shù)列是，則數(shù)列是．已知對任意的，，則 ， ． 30.（2020浙江文）設等比數(shù)列的公比，前項和為，則 ． 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識點的考查充分體現(xiàn)了通項公式和前項和的知識聯(lián)系． 答案 15 解析 對于 31.（2020浙江文）設等差數(shù)列的前項和為，則，，，成等差數(shù)列

61、．類比以上結論有：設等比數(shù)列的前項積為，則， ， ，成等比數(shù)列． 【命題意圖】此題是一個數(shù)列與類比推理結合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力 答案： 解析 對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項積為，則，，成等比數(shù)列． 32.（2020北京理）已知數(shù)列滿足：則________；=_________. 答案 1，0 解析 本題主要考查周期數(shù)列等基礎知識.屬于創(chuàng)新題型. 依題意，得，. ∴應填1，0. 33.（2020江蘇卷）設是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項在集合中，則=

62、 . 答案 -9 解析 考查等價轉化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項。 有連續(xù)四項在集合，四項成等比數(shù)列，公比為，= -9 34.(2020山東卷文)在等差數(shù)列中,,則. 解析 設等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 答案: 13. 【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算. 35.(2020湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為__________。 答案 4 5 32 解析 （1）若為偶數(shù)，則為偶, 故 ①當仍為偶數(shù)時， 故 ②當為奇數(shù)時， 故得m=4。

63、 （2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù) ，所以=1可得m=5 36.（2020寧夏海南卷理）等差數(shù)列{}前n項和為。已知+-=0，=38,則m=_______ 解析由+-=0得到。 答案 10 37.（2020陜西卷文）設等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n. 答案:2n 38.(2020陜西卷理)設等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 答案：1 39.（2020寧夏海南卷文）等比數(shù)列{}的公比, 已知=1，，則{}的前4項和=

64、 解析 由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。 答案 40.(2020湖南卷理)將正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知

65、 即 進一步可求得。由上知中有三個數(shù)，中 有6個數(shù)，中共有10個數(shù)相加 ，中有15個數(shù)相加….，若中有個數(shù)相加，可得中有個數(shù)相加，且由 可得所以 = 41.（2020重慶卷理）設，，，，則數(shù)列的通項公式= ． 解析 由條件得且所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則 答案 2n+1 三、解答題 42.（2020浙江文）設為數(shù)列的前項和，，，其中是常數(shù)． （I） 求及； （II）若對于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值． 解（Ⅰ）當， （） 經(jīng)驗，（）式成立， （Ⅱ）成等比數(shù)列，，

66、 即，整理得：， 對任意的成立， 43.（2020北京文）設數(shù)列的通項公式為. 數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求數(shù)列的前2m項和公式； （Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由. 【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、 分類討論等數(shù)學思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題. 解（Ⅰ）由題意，得，解，得. ∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即. （Ⅱ）由題意，得， 對于正整數(shù)，由，得. 根據(jù)的定義可知 當時，；當時，. ∴ . （Ⅲ）假設存在p和q滿足條件，由不等式及得. ∵,根據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m 都有 ，即對任意的正整數(shù)m都成立. 當（或）時，得（或）， 這與上述結論矛盾！ 當，即時，得，解得. ∴ 存在p和q，使得； p和q的取值范圍分別是，.. 44.(2020山東卷文)等比數(shù)列{}的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù)