《高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊三 直線與拋物線完整講義(學生版)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊三 直線與拋物線完整講義(學生版)(8頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、學而思高中完整講義:直線.板塊五.直線中的對稱問題.學生版
1.橢圓的定義:平面內與兩個定點的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓.
這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.
2.橢圓的標準方程:
①,焦點是,,且.
②,焦點是,,且.
3.橢圓的幾何性質(用標準方程研究):
⑴范圍:,;
⑵對稱性:以軸、軸為對稱軸,以坐標原點為對稱中心,橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心;
⑶橢圓的頂點:橢圓與它的對稱軸的四個交點,如圖中的;
⑷長軸與短軸:焦點所在的對稱軸上,兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸,如圖中線段的;另一對頂點間的線段叫做橢圓的
2、短軸,如圖中的線段.
⑸橢圓的離心率:,焦距與長軸長之比,,越趨近于,橢圓越扁;
反之,越趨近于,橢圓越趨近于圓.
4.直線:與圓錐曲線:的位置關系:
直線與圓錐曲線的位置關系可分為:相交、相切、相離.對于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點,但并不是相切;對于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點,但并不相切.這三種位置關系的判定條件可歸納為:
設直線:,圓錐曲線:,由
消去(或消去)得:.
若,,相交;相離;相切.
若,得到一個一次方程:①為雙曲線,則與雙曲線的漸近線平行;②為拋物線,則與拋物線的對稱軸平行.
因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共
3、點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件.
5.連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦.
求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點的坐標,然后運用兩點間的距離公式來求;
另外一種求法是如果直線的斜率為,被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為,則弦長公式為.
兩根差公式:
如果滿足一元二次方程:,
則().
6.直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有:
①從方程的觀點出發(fā),利用根與系數(shù)的關系來進行討論,這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎.要重視通過設而不求與弦長公式簡化計算,并同時注意在適當時利用圖形的平面幾何性質.
②以向量為工具,利用向量的坐標運
4、算解決與中點、弦長、角度相關的問題.
典例分析
【例1】 已知拋物線的方程為,過點和點的直線與拋物線沒有公共點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【例2】 點在直線上,若存在過的直線交拋物線于,兩點,且,則稱點為“點”,那么下列結論中正確的是( )
A.直線上的所有點都是“點”
B.直線上僅有有限個點是“點”
C.直線上的所有點都不是“點”
D.直線上有無窮多個點(但不是所有的點)是“點”
【例3】 如圖拋物線:和圓:,其中,直線經過的焦點,依次交,于四點,則的值為
5、 ( )
A. B. C. D.
【例4】 斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點,若弦長,則 _
【例5】 拋物線與直線有兩個不同的交點,則實數(shù)的范圍是_____________.
【例6】 若直線與拋物線交于、兩點,若線段的中點的橫坐標是,則______.
【例7】 已知拋物線的一條弦,,,所在的直線與軸交于點,則 .
【例8】 過點作直線與拋物線只有一個公共點,這樣的直線有_______條
【例9】 對于拋物線:,我們稱滿足的點在拋物線的內部,若點在拋物線的內部,則直線:與拋
6、物線的位置關系是_______
【例10】 設拋物線的準線與軸交于點,若過點的直線與拋物線有公共點,則直線的斜率的取值范圍是_______.
【例11】 若曲線與直線沒有公共點,則、分別應滿足的條件是 .
【例12】 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點,若線段的長為,則_______.
【例13】 已知拋物線(為常數(shù),)上不同兩點、的橫坐標恰好是關于的方程(為常數(shù))的兩個根,則直線的方程為_________________.
【例14】 拋物線截直線所得弦長的中點坐標為_______,弦長為______.
7、
【例15】 已知拋物線,過定點作一弦,則_______.
【例16】 已知拋物線過點,
⑴求拋物線的焦點坐標與準線方程;
⑵直線:與拋物線交于兩點,求線段的中點坐標及的值.
【例17】 ⑴設拋物線被直線截得的弦長為,求值.
⑵以⑴中的弦為底邊,以軸上的點為頂點作三角形,當三角形的面積為時,求點坐標.
【例18】 已知點到定點()與它到定直線的距離相等,
⑴求動點的軌跡方程;
⑵設過點的直線與的軌跡交于、兩點,設,當直線與的斜率都存在時,求證直線、的斜率之和為.
【例19】 在平面直角坐標系中,過拋物線的焦點作直線與拋物線相交于兩點.若點是點關
8、于坐標原點的對稱點,求面積的最小值.
【例20】 過拋物線的對稱軸上的定點作直線與拋物線相交于、兩點,若點為定直線:上的任意一點,試證明:三條直線、、的斜率成等差數(shù)列.
【例21】 已知拋物線.過動點且斜率為的直線與該拋物線交于不同的兩點、.若,求的取值范圍.
【例22】 已知曲線為頂點在原點,以軸為對稱軸,開口向右的拋物線,又點到拋物線的準線的距離為,
⑴求拋物線的方程;
⑵證明:過點的任意一條直線與拋物線恒有公共點;
⑶若⑵中的直線分別與拋物線交于上下兩點,,,,,,,,又點,,,的縱坐標依次成公差不為的等差數(shù)列,試分析與的大小關系.
【例23
9、】 已知拋物線和圓,過點作直線交拋物線于、,交圓于(自下而上依次為),且,求實數(shù)的取值范圍.
【例24】 已知一條曲線在軸右邊,上每一點到點的距離減去它到軸距離的差是1.
⑴求曲線的方程;
⑵是否存在正數(shù),對于過點且與曲線有兩個交點,的任一直線,都有?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【例25】 已知,點在軸上,點在軸的正半軸上,點在直線上,且滿足,
⑴當點在軸上移動時,求點的軌跡;
⑵過點作直線與軌跡交于、兩點,若在軸上存在一點,使得是等邊三角形,求的值.
【例26】 已知分別是橢圓的左、右焦點,曲線是以坐標原點為頂點,以為焦點的拋物線,自
10、點引直線交曲線于、兩個不同的交點,點關于軸的對稱點記為.設.
⑴求曲線的方程;
⑵證明:;
⑶若,求的取值范圍.
【例27】 已知拋物線,點關于軸的對稱點為,直線過點交拋物線于兩點.
⑴證明:直線的斜率互為相反數(shù);
⑵求面積的最小值;
⑶當點的坐標為,且.根據⑴⑵推測并回答下列問題(不必說明理由):
①直線的斜率是否互為相反數(shù)?
②面積的最小值是多少?
【例28】 過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于、兩點,自、向直線作垂線,垂足分別為、.
⑴當時,求證:⊥;
⑵記、、的面積分別為、、,是否存在,使得對任意的,都有成立.若存在,求出的值;若不存在,
11、說明理由.
【例29】 已知曲線是到點和到直線距離相等的點的軌跡.是過點的直線,是上(不在上)的動點;、在上,,軸(如圖).
⑴求曲線的方程;
⑵求出直線的方程,使得為常數(shù).
【例30】 已知拋物線:,點在軸的正半軸上,過的直線與相交、兩點,為坐標原點.
⑴若,的斜率為1,求以為直徑的圓的方程;
⑵若存在直線使得,,成等比數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍.
【例31】 已知拋物線的焦點為,過點的直線與相交于、兩點,點關于軸的對稱點為.
⑴證明:點在直線上;
⑵設,求的內切圓的方程 .
【例32】 已知拋物線及定點,是拋物線上的點,設直線與拋物線的另
12、一交點分別為.
求證:當點在拋物線上變動時(只要存在且與是不同兩點),直線恒過一定點,并求出定點的坐標
【例33】 在平面直角坐標系中,直線與拋物線相交于不同的兩點.
⑴如果直線過拋物線的焦點,求的值;
⑵如果證明直線必過一定點,并求出該定點.
【例34】 在平面直角坐標系中,設點,直線,點在直線上移動,是線段與軸的交點, ,.
⑴求動點的軌跡的方程;
⑵記的軌跡的方程為,過點作兩條互相垂直的曲線的弦、,設、的中點分別為,.
求證:直線必過定點.
【例35】 已知:為坐標原點,點、、、滿足,,,,.
⑴當變化時,求點的軌跡方程;
⑵若是軌跡上不同與的另一點,且存在非零實數(shù),使得,
求證:.