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1、平面上兩點間的距離
【學習導航】
知識網(wǎng)絡
中點坐標
學習要求
1．掌握平面上兩點間的距離公式、中點坐標公式；
2．能運用距離公式、中點坐標公式解決一些簡單的問題．
【課堂互動】
自學評價
（1）平面上兩點之間的距離公式為
．
（2）中點坐標公式：對于平面上兩點，線段的中點是，則．
【精典范例】
例1：（1）求A(-1,3)、B（2，5）兩點之間的距離；
（2）已知A（0，10），B（a，-5）兩點之間的距離為17，求實數(shù)a的值．
【解】(1)由兩點間距離公式得AB=
(2) 由兩點間距離公式得,解得 a
2、=．
故所求實數(shù)a的值為8或-8．
例2：已知三角形的三個頂點，試判斷的形狀．
分析：計算三邊的長，可得直角三角形．
【解】
,
∵，
∴為直角三角形.
點評：本題方法多樣，也可利用、斜率乘積為-1，得到兩直線垂直.
例3：已知的頂點坐標為，求邊上的中線的長和所在的直線方程．
分析：由中點公式可求出中點坐標,分別用距離公式、兩點式就可求出的長和所在的直線方程．
【解】如圖，設(shè)點．
∵點是線段的中點，
∴
，
即的坐標為．
由兩點間的距離公式得．
因此，邊上的中線的長為．
由兩點式得中線所在的直線方程為
，即．
點評:本題是中點坐標公式、距離公式的簡單應
3、用.
例4．已知是直角三角形，斜邊的中點為，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?
證明：．
證：如圖，以的直角邊所在直線為坐標軸，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?
設(shè)兩點的坐標分別為，
∵是的中點，
∴點的坐標為，即．
由兩點間的距離公式得
所以，．
追蹤訓練一
1.式子可以理解為()
兩點(a,b)與(1,-2)間的距離
兩點(a,b)與(-1,2)間的距離
兩點(a,b)與(1,2)間的距離
兩點(a,b)與(-1,-2)間的距離
2.以A(3,-1), B(1,3)為端點的線段的垂直平分線的方程為 ()
2x+y-5=0 2x+y+
4、6=0
x-2y=0 x-2y-8=0
3. 線段AB的中點坐標是(-2,3),又點A的坐標是(2,-1),則點B的坐標是．
4．已知點，若點在直線上，求取最小值．
解:設(shè)點坐標為,∵在直線上，∴，
，
∴的最小值為．
【選修延伸】
對稱性問題
例5: 已知直線，（1）求點關(guān)于對稱的點；（2）求關(guān)于點對稱的直線方程．
分析：由直線垂直平分線段，可設(shè)，有垂直關(guān)系及中點坐標公式可求出點；而關(guān)于點對稱的直線必平行，因此可求出對稱的直線方程．
【解】（1）設(shè)，由于⊥，且中點在上，有
，解得
∴
（2）在上任取一點，如，則關(guān)于點對稱的點為．
∵所求
5、直線過點且與平行，
∴方程為，即．
聽課隨筆
例6：一條光線經(jīng)過點,射在直線上，反射后，經(jīng)過點，求光線的入射線和反射線所在的直線方程．
分析：入射光線和反射光線所在直線都經(jīng)過反射點，反射直線所在直線經(jīng)過點關(guān)于直線的對稱點．
【解】入射線所在的直線和反射線所在的直線關(guān)于直線對稱，設(shè)點關(guān)于直線對稱點的坐標為，因此的中點在直線上，且所在直線與直線垂直，
所以，
解得．
反射光線經(jīng)過兩點，∴反射線所在直線的方程為．
由得反射點．
入射光線經(jīng)過、兩點，
∴入射線所在直線的方程為．
點評:求點關(guān)于直線的對稱點，通常都是根據(jù)直線垂直于直線，以及線段的中點在直線上這兩個關(guān)系式列出方程組
6、，然后解方程組得對稱點的坐標．
思維點拔：
平面上兩點間的距離公式為，線段中點坐標為.平面上兩點間距離公式及中點坐標公式有著廣泛的應用，如：計算圖形面積，判斷圖形形狀等.同時也要注意掌握利用中點坐標公式處理對稱性問題.
追蹤訓練二
1．點(-1,2)關(guān)于直線x+y-3=0的對稱點的坐 標為 ( )
(1,4) (-1,4) (1,-4) (-1,-4)
2．直線3x-y-2=0關(guān)于x軸對稱的直線方程為．
3．已知點,試求點的坐標,使四邊形為等腰梯形．
答案:點的坐標為或．
4．已知定點，，，求的最小值．
(數(shù)形結(jié)合:將看成是軸上的動點與兩點的距離和,利用對稱性,得到最小值為).
學生質(zhì)疑
教師釋疑
高中數(shù)學 第9課時《平面上兩點間的距離》教案（教師版）蘇教版必修2
