2020年高考數(shù)學(xué)（藝術(shù)生百日沖刺）專題19 考前模擬卷

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1、專題19考前模擬卷 一.選擇題 1．設(shè)集合M={x|x2﹣x＞0}，N={x|＜1}，則（　?。? A．M∩N=? B．M∪N=? C．M=N D．M∪N=R 【答案】C 【解析】：M={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，N={x|＜1}={x|x＞1或x＜0}， 則M=N，故選：C． 2. 已知是虛數(shù)單位,,且,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得， ，即，故選A. 3. 在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使的概率為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：∵0≤x≤2，∴0≤

2、≤π，∵sin≥， ∴≤≤，即≤x≤，∴P==．故選：A． 4. （2020?威海二模）已知命題p：“?a＞b，|a|＞|b|”，命題q：“”，則下列為真命題的是（　?。? A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∨q D．p∨￢q 【答案】C 【解析】：∵命題p：“?a＞b，|a|＞|b|”是假命題，命題q：“”是真命題，∴p∨q是真命題．故選：C． 5. 如圖1為某省2020年1～4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2020年1～4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是 A. 2020年1～4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬(wàn)件 B. 2020年1～4月的業(yè)

3、務(wù)量同比增長(zhǎng)率均超過(guò)50％，在3月最高 C. 從兩圖來(lái)看，2020年1～4月中的同一個(gè)月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長(zhǎng)率并不完全一致 D. 從1～4月來(lái)看，該省在2020年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長(zhǎng)率逐月增長(zhǎng) 【答案】D 6.（2020?泉州期中）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“Sn的最大值是S8”是“”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“Sn的最大值是S8”?a8＞0，a9＜0． 則“”?． ∴Sn的最大值是S8”是“”的充要條件． 故選：C．

4、7.已知點(diǎn)P（2，1）是拋物線C：x2=my上一點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于P的兩點(diǎn)，A，B在x軸上的射影分別為A1，B1，若直線PA與直線PB的斜率之差為1，D是圓（x﹣1）2+（y+4）2=1上一動(dòng)點(diǎn)，則△A1B1D的面積的最大值為（　　） （2）若b，a，c成等差數(shù)列，△ABC的面積為2，求a． 【解析】：（1）∵asinB=bsin（A+）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）． ∵sinB≠0， ∴sinA=sin（A+）． ∵A∈（0，π），可得：A+A+=π， ∴A=．…………6分 （2）∵b，a，c成等差數(shù)列， ∴b+c=， ∵△A

5、BC的面積為2，可得：S△ABC=bcsinA=2， ∴=2，解得bc=8， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24， ∴解得：a=2．………………12分 18. 如圖所示，在四棱錐S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，點(diǎn)E在棱CS上，且CE＝λCS． （1）若，證明：BE⊥CD； （2）若，求點(diǎn)E到平面SBD的距離． 【解析】（1）因?yàn)?，所以，在線段CD上取一點(diǎn)F使，連接EF，BF，則EF∥SD且D

6、F＝1． 因?yàn)锳B＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°， 所以四邊形ABFD為矩形，所以CD⊥BF． 又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°， 所以SA⊥CD，AD⊥CD． 因?yàn)锳D∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD， 所以CD⊥SD，從而CD⊥EF． 因?yàn)锽F∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF． 又BE平面BEF，所以CD⊥BE．…………5分 （2）解： 由題設(shè)得，， 又因?yàn)?，，? 所以， 設(shè)點(diǎn)C到平面SBD的距離為h，則由VS—BCD＝VC—SBD得， 因?yàn)?，所以點(diǎn)E到平面SBD的距離為．…………12分 19. .2020年8月8日是我國(guó)第十個(gè)全民健身日

7、，其主題是：新時(shí)代全民健身動(dòng)起來(lái)．某市為了解全民健身情況，隨機(jī)從某小區(qū)居民中抽取了40人，將他們的年齡分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖． （1）試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值； （2）（?。┤魪臉颖局心挲g在[50，70）的居民中任取2人贈(zèng)送健身卡，求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率； （ⅱ）已知該小區(qū)年齡在[10，80]內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2000，若18歲以上（含18歲）為成年人，試估計(jì)該小區(qū)年齡不超過(guò)80歲的成年人人數(shù)． 【解析】 （1）平均數(shù)．

8、前三組的頻率之和為0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位數(shù)落在第3組，設(shè)中位數(shù)為x， 則（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位數(shù)為35．…………5分 （2）（?。颖局?，年齡在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年齡在[50，60）的有4人，設(shè)為a，b，c，d，年齡在[60，70）的有2人，設(shè)為x，y． 則從中任選2人共有如下15個(gè)基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）． 至少有1人年齡不低

9、于60歲的共有如下9個(gè)基本事件： （a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）． 記“這2人中至少有1人年齡不低于60歲”為事件A， 故所求概率．…………9分 （ⅱ）樣本中年齡在18歲以上的居民所占頻率為1－（18－10）×0.015＝0.88， 故可以估計(jì)，該小區(qū)年齡不超過(guò)80歲的成年人人數(shù)約為2000×0.88＝1760．……12分 20. 已知橢圓E：（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（），其上頂點(diǎn)B（0，b）與左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成等腰三角形，且∠F1BF2=120°． （Ⅰ）求橢圓E的方程； （Ⅱ）以點(diǎn)B（0，b）為焦點(diǎn)

10、的拋物線C：x2=2py（p＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)P（m，yp），拋物線C在點(diǎn)P處的切線l與橢圓E交于P1P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為D，直線OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M，問(wèn)：當(dāng)0＜m≤b時(shí)，△POM面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在說(shuō)明理由． 【解析】：（Ⅰ）由已知得：a=2b，+=1， 解得b2=1，a2=4． 故橢圓E的方程為：+y2=1．………………4分 （Ⅱ）拋物線C的焦點(diǎn)B（0，1），則其方程為x2=4y．y′=x． 于是拋物線上點(diǎn)P（m，），則在點(diǎn)P處的切線l的斜率為k=y′|x=m=， 故切線l的方程為：y﹣=（x﹣m），即y=x

11、﹣．…………6分 由方程組，消去y，整理后得（m2+1）x2﹣m3x+﹣4=0． 由已知直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，則△=m6﹣4（m2+1）（﹣4）＞0． 解得0≤m2＜8+4，其中m=0是不合題意的． ∴﹣＜m＜0，或0＜m＜． 設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則xD==．…………8分 代入l的方程得yD=． 故直線OD的方程為：x，即y=﹣x． 當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣，即點(diǎn)M． △POM面積S=|PM|?m=m=+m． ∵S′=m2+＞0， 故S關(guān)于m單調(diào)遞增． ∵0＜m≤1，∴當(dāng)m=1時(shí)，△POM面積最大值為．…………12分 21已知函數(shù)． （1）若函數(shù)f

12、（x）在[1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍； （2）當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，證明：對(duì)任意x∈（0，＋∞），． 【解析】 (1)解：由題意得. 即在上恒成立， 所以.…………3分 (2)證明：由(1)可知， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 因?yàn)椋? 所以， 所以，即， 即， 所以.…………12分 22．（10分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)，0＜θ＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣2cosθ=0． （1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)

13、，當(dāng)θ變化時(shí)，求|AB|的最小值． 【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C的直角坐標(biāo)方程； （2）將直線l的參數(shù)方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用參數(shù)的幾何意義，求|AB|的最小值． 23. 設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值為m． （Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象； （Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值． 【解析】：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=， 畫(huà)出圖象如圖， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x=﹣時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為m=． ∵a2+2c2+3b2=m==（a2+b2）+2（c2+b2）≥2ab+4bc， ∴ab+2bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，取等號(hào)， 故ab+2bc的最大值為．